Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Lösungen 8.140 Der Umfang eines Vierecks ist die Summe der vier Seitenlängen. Ersetzt man in der Formel gleiche Seitenlängen durch gleiche Variablen, so erhält man die Formeln zur Berechnung des Umfangs der besonderen Vierecke. 8.141 8.142 Corinna hat Unrecht. Das Deltoid ist nicht konstruierbar, wenn die Dreiecksungleichung a + b > e nicht erfüllt ist. Es gilt jedoch: 5,3cm + 7,1 cm > 11,8cm; daher kann das Deltoid konstruiert werden. 9 Vielecke 9.46 Ein Vieleck entsteht, wenn n Punkte einer Ebene durch Strecken miteinander verbun- den werden. Keine drei Punkte dürfen auf einer Geraden liegen. 9.47 1) Ein konvexes Vieleck (n-Eck) hat n Eck- punkte, n Seiten und n Innenwinkel, deren Maß jeweils kleiner als 180° ist. 2) P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 9.48 Ein n-Eck hat n _ 2 ·(n – 3) Diagonalen. 9.49 Bei einem n-Eck ist die Summe der Innen- winkelmaße (n – 2)·180°. 9.50 1) Ein gleichseitiges Vieleck ist ein Vieleck mit lauter gleich langen Seiten. 2) Ein gleichwinkeliges Vieleck ist ein Vieleck mit lauter gleich großen Winkeln. 3) Ein regelmäßiges Vieleck ist ein Vieleck mit lauter gleich langen Seiten und lauter gleich großen Winkeln. Alle Eckpunkte liegen auf einer Kreislinie. 9.51 1) Man zeichnet eine Kreislinie. Da bei einem regelmäßigen Sechseck der Radius der Sei- tenlänge entspricht, wählt man einen belie- bigen Punkt auf der Kreislinie, sticht dort ein und schlägt die Länge des Radius auf die Kreislinie ab. Dort sticht man wieder ein und schlägt wieder auf die Kreislinie ab. Dies wie- derholt man, bis der Ausgangspunkt wieder erreicht ist. Wenn nun alle sechs Markierun- gen auf der Kreislinie verbunden werden, erhält man ein regelmäßiges Sechseck. 2) Man zeichnet eine Kreislinie. Durch den Kreismittelpunkt zieht man zwei zueinander normal stehende Durchmesser. Dann konst- ruiert man die beiden Winkelsymmetralen der entstandenen rechten Winkel. Die beiden Winkelsymmetralen schneiden die Kreislinie in vier Punkten. Die beiden Durchmesser markieren auch vier Punkte auf der Kreislinie. Wenn nun alle acht Markierungen auf der Kreislinie verbunden werden, erhält man ein regelmäßiges Achteck. konvexes Fünfeck nicht konvexes Fünfeck 9.52 Jedes regelmäßige n-Eck besteht aus n kon- gruenten gleichschenkeligen Dreiecken. Ein solches Dreieck nennt man Bestimmungs- dreieck. 9.53 Das Maß µ n des Mittelpunktswinkels eines Bestimmungsdreiecks beträgt 360° ___ n . 9.54 9.55 1) 20 Diagonalen 2) 8 Symmetrieachsen 3) 1080° 9.56 r r r r 60° 60° 60° 60° r r 9.57 r a a a a a a r r 45° 135° r r 9.58 Dreieck Das Maß eines Innen- winkels ist 120°. Fünfeck Das Maß eines Innen- winkels ist 140°. regelmäßiges Sechseck Die Summe der Innen- winkelmaße ist 540°. Achteck Die Summe der Innen- winkelmaße ist 180°. gleichwinke- liges Neuneck Das Maß eines Innen- winkels ist 150°. regelmäßiges Zwölfeck Die Anzahl der Diago- nalen ist 20. 9.59 1) u = 22m; A = 28,56m² 2) 8,2 cm 5,4 cm 4,2 cm 3,5 cm 9.60 9.61 1) Die Abbildung zeigt regelmäßige Vielecke, vom Dreieck bis zum Zwölfeck, deren Seiten alle gleich lang sind und die alle eine Seite gemeinsam haben. 2) ZB: Man beginnt mit der Konstruktion des gleichseitigen Dreiecks und trägt die jewei- ligen Innenwinkelmaße der Vielecke von der Basisseite ab, nimmt die Seitenlänge in den Zirkel und schlägt die Anzahl der Seiten ab. 3) ZB 2cm 10 Prisma 10.56 Quader und Würfel sind Spezialfälle von Prismen. 1) Ein Quader ist ein geometrischer Körper, der ausschließlich von Rechtecken begrenzt wird. 2) Ein Würfel ist ein geome- trischer Körper, der ausschließlich von Qua- draten begrenzt wird. 10.57 1) V = a·b·h 2) V = a·a·a 10.58 1) O = 2·(a·b + a·h + b·h) 2) V = 6·a·a 10.59 Grund- und Deckfläche sind deckungsgleiche und parallele n-Ecke. Der Mantel besteht aus n Parallelogrammen. Ist das Prisma gerade, dann handelt es sich bei den Mantelflächen um Rechtecke. 10.60 Ein Quader ist ein Prisma, dessen Grund- fläche ein Rechteck ist. Ein Würfel ist ein re- gelmäßiges vierseitiges Prisma, dessen Höhe mit der Kantenlänge der Grundfläche über- einstimmt. 10.61 V = G·h 10.62 O = 2·G + M 10.63 Mit dieser Formel berechnet man den Mantelflächeninhalt eines Prismas. In die Zeichenebene ausgebreitet ist der Mantel ein Rechteck, mit dem Umfang der Grund- fläche als Länge und der Höhe des Prismas als Breite. 10.64 neun Symmetrieebenen 282 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv