Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Lösungen 7.174 Bei einem allgemeinen Dreieck ist der Um- fang u die Summe der drei Seitenlängen a, b und c: u = a + b + c 7.175 Der Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks mit den Kathetenlängen a und b ist genau die Hälfte des Flächeninhalts eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b. 7.176 A c a b B C α β γ 7.177 spitzwinkeliges Dreieck α = β = γ stumpfwinkeliges Dreieck α + β = 90°; γ = 90° gleichschenkeliges Dreieck α = β ; γ ≠ α gleichseitiges Dreieck α < 90°; β < 90°; γ < 90° rechtwinkeliges Dreieck α = γ = 45°; β = 90° rechtwinkelig- gleichschenkeliges Dreieck α < 90°; β < 90°; γ > 90° 7.178 1) ZB: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 10 cm 2) ZB: α = 60°, β = 70°, γ = 80° 7.179 I A a b c B C w α β β w γ w α γ 7.180 I II L III 7.181 A 1 a 1 b 1 c 1 B 1 C 1 A 2 a 2 b 2 c 2 B 2 C 2 A 3 a 3 b 3 c 3 B 3 C 3 A 4 a 4 b 4 c 4 B 4 C 4 A 1 B 1 C 1 t A 3 B 3 C 3 A 2 B 2 C 2 t A 4 B 4 C 4 7.182 α = 25° 7.183 Sind die Maße zweier Winkel des Dreiecks gegeben, ist automatisch das Maß des drit- ten Winkels gegeben, da α + β + γ = 180°. 7.184 7.185 M Agnes soll drei Punkte auf dem Kreisbogen markieren und jeweils zwei benachbarte mit Strecken verbinden. Der Schnittpunkt der beiden Streckensymmetralen ist der Mittel- punkt M. (Erklärung: Den Kreisbogen kann man sich als Teil des Umkreises eines Drei- ecks vorstellen, dessen drei Eckpunkte auf dem Kreisbogen markiert sind; die beiden Strecken sind somit zwei Dreiecksseiten und M ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.) 7.186 B trifft zu, da der Flächeninhalt des blauen wie des orangen Dreiecks jeweils genau 1 _ 8 des Flächeninhalts des großen Quadrats ist. Die beiden Dreiecke sind nicht kongruent und nicht gleichschenkelig. 8 Vierecke 8.126 1) Ein Rechteck ist ein besonderes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind. Benachbarte Seiten sind normal, dh. ein Rechteck hat vier rechte Winkel (= 90°). Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander. Die bei- den Seitensymmetralen sind Symmetrieach- sen. Ein Rechteck besitzt einen Umkreis. 2) Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Die beiden Dia- gonalen stehen normal zueinander und sind Symmetrieachsen des Quadrats. Ein Quadrat besitzt einen Inkreis. 8.127 1) Ein Parallelogramm ist ein besonderes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind. Gegenüberlie- gende Winkel sind gleich groß, die beiden ei- ner Seite anliegenden Winkel sind supple- mentär. Die beiden Diagonalen halbieren einander. 2) Ein Rhombus ist ein Parallelogramm, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Die bei- den Diagonalen stehen normal zueinander und sind Symmetrieachsen des Rhombus. Ein Rhombus besitzt einen Inkreis. 8.128 1) Bei einem rechtwinkeligen Trapez haben die beiden einem Schenkel anliegenden Win- kel ein Maß von 90°. 2) Bei einem gleichschenkeligen Trapez sind die beiden Schenkel gleich lang. Die Winkel an den Parallelseiten sind jeweils gleich groß. Die beiden Diagonalen sind gleich lang. Die Seitensymmetrale der Parallelseiten ist Symmetrieachse. Es besitzt einen Umkreis. 8.129 Ein Deltoid ist ein besonderes Viereck mit zwei Paar gleich langer Seiten. Es besitzt eine Symmetrieachse. Die Diagonale, die auf der Symmetrieachse liegt, halbiert die ande- re Diagonale. Die beiden Diagonalen stehen normal zueinander. Zwei Winkel sind gleich groß, die beiden anderen werden durch die Symmetrieachse halbiert. Es besitzt einen Inkreis. 8.130 Man berechnet den Flächeninhalt von Vierecken, indem diese in Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke zerlegt oder dazu ergänzt werden. 8.131 Sind alle vier Innenwinkel eines Vierecks klei- ner als 180°, so nennt man es ein konvexes Viereck. 8.132 Für jedes Viereck gilt: α + β + γ + δ = 360°, dh. die Summe der Innenwinkelmaße ist 360°. 8.133 8.134 gleich lange Diagonalen Quadrat vier Symmetrieachsen Rechteck vier gleich lange Seiten Parallelo- gramm einander halbierende Diagonalen Rhombus vier rechte Winkel Trapez normal zueinander stehende Diagonalen Deltoid 8.135 C A B a a a a e D Rhombus ist 50% verkleinert 8.136 1) δ = 360 – ( α + β + γ ) = = 360 – (47 + 58 + 102) = 360 – 207 = 153(°) 2) Ja, da die Summe der Winkelmaße in je- dem Viereck 360° beträgt. 8.137 Ein Rechteck ist ein Sonderfall eines Paralle- logramms, daher ist die Antwort richtig. Ein Rhombus ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten, daher ist die Antwort richtig. Ein Rhombus kann als Sonderfall eines Del- toids verstanden werden, daher ist die Ant- wort richtig. Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln, diese Antwort ist falsch. Es handelt sich um ein gleichschenkeliges Trapez. Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar gleich langer Seiten, diese Antwort ist falsch. Es handelt sich um ein allgemeines Viereck. 8.138 δ = 110° 8.139 1) C = (7 1 5) 10 1 2 3 4 5 1 O 2. Achse 1. Achse 2 3 4 5 7 9 8 6 A D C B 2) Rechteck: u = 2·(a + b) = 2·(5 + 3) = 16 Quadrat: a = u4 = 164 = 4 281 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv