Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Lösungen 6.80 1) Parallelwinkel sind Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind. Diese sind entweder gleich groß oder supplementär. 2) Normalwinkel sind Winkel, deren Schen- kel paarweise normal zueinander stehen. Diese sind entweder gleich groß oder supple- mentär. 6.81 Zwei Figuren sind genau dann kongruent (deckungsgleich), wenn sie in Form und Maßen übereinstimmen. Sie überdecken ein- ander ganz genau. Sind zwei Figuren kongru- ent, sind sie auch flächeninhaltsgleich. Sind zwei Figuren flächeninhaltsgleich, müssen sie nicht kongruent sein. 6.82 1) Die Gerade, die durch den Mittelpunkt einer Strecke AB verläuft und normal zu die- ser Strecke steht, nennt man Streckensym- metrale m AB . Jeder Punkt auf m AB ist sowohl von A als auch von B gleich weit entfernt. 2) Den Strahl, der einen Winkel α halbiert, nennt man Winkelsymmetrale w α . Jeder Punkt auf w α ist von beiden Winkelschenkeln gleich weit entfernt. 6.83 1) Um die Endpunkte A und B einer Strecke wird jeweils mit dem Zirkel ein Kreisbogen gezogen, dessen Radius in beiden Fällen der- selbe und größer als die Hälfte der Strecken- länge sein muss. Durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen verläuft die Streckensym- metrale. 2) Man nimmt eine beliebige Länge in den Zirkel, sticht in den Scheitel eines Winkels ein und zieht einen Kreisbogen. Dieser schneidet die beiden Winkelschenkel in zwei Punkten. Mit derselben Länge im Zirkel sticht man nun nacheinander in die markierten Punkte auf den Winkelschenkeln ein und zieht aber- mals Kreisbögen, die einander schneiden. Der Strahl, der durch den Scheitel und einen Schnittpunkt der beiden Kreisbögen verläuft, ist die Winkelsymmetrale. 6.84 A = (5 1 2) E = (5 1 0) B = (4 1 3) F = (4 1 7) C = (6 1 5) G = (5 1 0) D = (1 1 2) H = (1 1 3) 6.85 1 2 3 4 5 6 7 1 O 2 3 4 5 6 7 1. Achse 2. Achse A m AB B 6.86 α w α S 6.87 6.88 1) 2m 2) zB an der Stelle L’, in jedem Fall auf der Winkelsymmetralen des Winkels, dessen Schenkel die beiden inneren Gassenbegren- zungen darstellen α __ 2 = 43° L L’ 6.89 β = 121° δ = 121° γ = 121° ε = 59° 6.90 Die Figuren A und B sind kongruent, weil sie in Form und allen Maßen übereinstimmen. Die Figuren C und D stimmen zwar in der Form, aber nicht in den Längenmaßen über- ein; sie sind ähnlich, aber nicht kongruent. 6.91 Ja, sie hat Recht. Konstruiert man Kreisbögen um A und B mit demselben Radius r, befin- den sich deren Schnittpunkte genau auf der Streckensymmetralen m AB . Da r eine beliebi- ge Maßzahl sein kann, gilt dies für jeden Punkt auf m AB . 6.92 Er hat die Möglichkeit, jeweils eine Normale auf g und auf h zu konstruieren und damit ei- nen Normalwinkel darzustellen. Da dieser entweder gleich groß wie das Winkelmaß zwischen g und h ist oder supplementär, lässt sich auf diese Weise das Problem lösen. g Winkelmaß zwischen g und h h 7 Dreiecke 7.166 Ein Dreieck ist eine Figur mit drei Seiten, drei Eckpunkten und drei Winkeln. A c a b B C α β γ 7.167 Die Summe der Winkelmaße ist in jedem Dreieck 180°. α α 1 A c B a C b β β 1 γ 7.168 Je zwei Seiten sind zusammen länger als die dritte Seite. a + b > c und b + c > a und a + c > b 7.169 – spitzwinkeliges Dreieck ( α < 90°; β < 90°; γ < 90°) – stumpfwinkeliges Dreieck (ein Winkelmaß ist größer als 90°) – gleichschenkeliges Dreieck (zwei Winkel sind gleich groß) – gleichseitiges Dreieck (alle drei Winkel sind gleich groß) – rechtwinkeliges Dreieck (das Maß eines Winkels ist genau 90°) – rechtwinkelig-gleichschenkeliges Dreieck (die Winkelmaße sind 45°, 45° und 90°) 7.170 Dreiecke, bei denen entsprechende Seiten gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sind, nennt man kongruent. 7.171 1) Zuerst wird eine Skizze angefertigt. Eine Seite, zB die Seite c, wird aufgetragen. Um A wird ein Kreisbogen mit dem Radius b gezo- gen, um B ein Kreisbogen mit dem Radius a. Jener Schnittpunkt der Kreisbögen ist der Punkt C, welcher der korrekten Beschriftung (gegen den Uhrzeigersinn) folgt. Die Punkte A und C sowie B und C werden durch Strecken verbunden. Das Dreieck wird voll- ständig beschriftet. 2) Zuerst wird eine Skizze angefertigt. Eine Seite, zB die Seite c, wird aufgetragen. Bei A wird der Winkel α so konstruiert, dass der zweite Winkelschenkel als Strahl von A aus ganz fein gezeichnet wird. Um A wird ein Kreisbogen mit dem Radius b gezogen. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Strahl ist der Eckpunkt C. Die Punkte A und C sowie B und C werden durch Strecken verbunden. Das Dreieck wird vollständig beschriftet. 3) Zuerst wird eine Skizze angefertigt. Die Seite c wird aufgetragen. Bei A wird der Win- kel α so konstruiert, dass der zweite Winkel- schenkel als Strahl von A aus ganz fein ge- zeichnet wird. Um B wird ein Kreisbogen mit dem Radius a gezogen. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Strahl ist der Eckpunkt C. Die Punkte A und C sowie B und C werden durch Strecken verbunden. Das Dreieck wird vollständig beschriftet. 4) Zuerst wird eine Skizze angefertigt. Die Seite c wird aufgetragen. Bei A wird der Win- kel α so konstruiert, dass der zweite Winkel- schenkel als Strahl von A aus ganz fein ge- zeichnet wird. Bei B wird der Winkel β genauso konstruiert. Der Schnittpunkt der beiden Strahlen ist der Eckpunkt C. Die Punk- te A und C sowie B und C werden durch Strecken verbunden. Das Dreieck wird voll- ständig beschriftet. 7.172 Nur mit der Angabe von zwei Seitenlängen und dem Maß des Winkels, welcher der län- geren Seite gegenüberliegt, lässt sich ein Dreieck eindeutig konstruieren. Ist das Maß des Winkels angegeben, welcher der kürze- ren Seite gegenüberliegt, so kann es kein Dreieck, ein rechtwinkeliges Dreieck oder zwei Dreiecke geben. 7.173 1) Es seien A, B und C die Eckpunkte eines Dreiecks. Die Streckensymmetralen m AB , m BC und m AC der drei Dreiecksseiten AB, BC und AC schneiden einander in einem Punkt U, dem Umkreismittelpunkt. 2) Es seien α = ¼ bc, β = ¼ ac und γ = ¼ ab die Winkel eines Dreiecks. Die Winkelsymmetra- len w α , w β und w γ der drei Winkel α , β und γ schneiden einander in einem Punkt I, dem Inkreismittelpunkt. Der Punkt I ist von allen drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt. 3) Es seien a, b und c die Seiten eines Drei- ecks ABC. Eine Strecke, die von einem Eck- punkt zur Mitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verläuft, nennt man Schwer- linie. Die drei Schwerlinien s a , s b und s c schneiden einander in einem Punkt S, dem Schwerpunkt. 4) Es seien a, b und c die Seiten eines Drei- ecks ABC. Eine Strecke, die von einem Eck- punkt normal zu der gegenüberliegenden Dreiecksseite bzw. zu deren Verlängerung verläuft, nennt man Höhe. Die drei Höhen h a , h b und h c bzw. deren Verlängerungen schnei- den einander in einem Punkt H, dem Höhen- schnittpunkt. 280 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv