Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Lösungen 2.267 5 _ 8 = 625 ___ 1000 Achtel können auf Tausendstel erweitert werden, weil 8 ein Teiler von 1000 ist: 8·125 = 1000 3 _ 5 = 6 __ 10 Fünftel können auf Zehntel erweitert werden, weil 5 ein Teiler von 10 ist: 5·2 = 10 5 _ 6 kann nicht auf einen Bruch mit dem Nenner 10 oder 100 oder 1000 usw. erweitert werden, weil die dekadischen Einheiten 10, 100, 1000 usw. keine Vielfachen von 6 sind. 2.268 2 _ 5 des Ganzen ist blau eingerahmt; 1 _ 3 von 2 _ 5 ist orange markiert: 1 _ 3 von 2 _ 5 entspricht der Multiplikation 1 _ 3 · 2 _ 5 = 2 __ 15 . 3 Zahlen in Prozentdarstellung 3.128 Ein Prozent bedeutet ein Hundertstel. 1% = 1 ___ 100 = 0,01 3.129 Ein Promille bedeutet ein Tausendstel. 1‰ = 1 ___ 1000 = 0,001 3.130 x% von y sind z oder als Formel x ___ 100 ·y = z 3.131 a muss mit dem Faktor “ 1 + p ___ 100 § multipliziert werden. 3.132 a muss mit dem Faktor “ 1 – p ___ 100 § multipliziert werden. 3.133 Sie ist eine Bundessteuer, die dem Bund zu- gute kommt. In Österreich beträgt sie auf viele Waren 20% des Nettopreises, auf manche Waren (etwa Lebensmittel) 10% des Nettopreises. 3.134 1) Unter Rabatt ist ein Preisnachlass zu ver- stehen. 2) Das Skonto ist ein spezieller Preisnachlass bei Barzahlungen oder vorzei- tigen Zahlungen. 3.135 Sie kostet nun 100€. 3.136 Er hat um ca. 23,8% abgenommen. 3.137 3.138 3.139 Sie wurde um 18,75% erhöht. 3.140 Nein, da sich der Grundbetrag ändert. Fünf Prozent der bereits verminderten Einwohner- zahl sind weniger Personen als fünf Prozent der ursprünglichen Einwohnerzahl. 3.141 In der Gemeinde Y sind mehr Prozent be- waldet als in der Gemeinde X. 3.142 1) 25500 Bögen 2) 9% 3.143 1) mindestens 44,55m 2) höchstens 45,45m 3.144 3.145 1) Partei A 39007 Partei B 33971 Partei C 12% Partei D 7600 2) 152105 Wahlberechtigte 3) A: plus 9,2 Prozentpunkte, B: plus 4,5 Prozentpunkte, C: minus 3,6 Prozentpunkte, D: minus 10,1 Prozentpunkte 4) 27,5% 4 Gleichungen 4.75 Eine unbestimmte Zahl, die man beispiels- weise durch eine Strecke oder einen Buch- staben darstellen kann, nennt man eine Variable. 4.76 Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck, der auch Variablen beinhalten kann. Zwei Terme, die durch ein Gleichheitszeichen mit- einander verbunden sind, nennt man Glei- chung. 4.77 a + b = c É a = c – b (b < c) b + 7 = 11 É b = 4 a – b = c É a = c + b (b < a) b – 10 = 5 É b = 15 a·b = c É a = cb (b ≠ 0) 4·b = 8 É b = 2 ab = c É a = c·b (b ≠ 0) b3 = 7 É b = 21 4.78 Die Zahl 18 wird von 42 subtrahiert. Das Er- gebnis 24 ist das Vierfache von x. Daher wird 24 durch 4 dividiert. Es ergibt sich: x = 6. 4.79 a = b É a + c = b + c 3 = 3 É 3 + 4 = 3 + 4 a = b É a – c = b – c (c < a, c < b) 3 = 3 É 3 – 1 = 3 – 1 a = b É a·c = b·c (c ≠ 0) 3 = 3 É 3·4 = 3·4 a = b É ac = bc (c ≠ 0) 6 = 6 É 62 = 62 4.80 4.81 g = 174·x + 285·y 4.82 h = 0,03·t + 5 4.83 1) r = 3·s 2) r r r r s 12 = 3·4 4.84 a) Urs hat drei Buntstifte mehr als Eva. b) Der Unterschied der Anzahlen der Buntstifte von Urs und Eva ist vier. c) Urs und Eva haben gemeinsam 42 Bunt- stifte. d) Urs hat doppelt so viele Buntstifte wie Eva. e) Eva hat dreimal so viele Bunt- stifte wie Urs. 4.85 a·(b + c) = a·b + a·c mit Zahlen: 2·(3 + 4) = 2·3 + 2·4 4.86 4.87 g = 39·n + 1,2 4.88 x = 38 4.89 4.90 r = 5,5cm 4.91 b = (U – a)3 4.92 B = N·1,1 4.93 Bauer: 50403 Stimmen, Konecy: 16801 Stim- men, Kreiner: 19802 Stimmen 4.94 Restgeld r = x – 20·a – w·c – 120 – u 4.95 x + 1000 + x + x = 200 + 2·x + 120 1000 + 3·x = 320 + 2·x 680 + 3·x = 2·x Diese Gleichung ist so nicht lösbar. Es ist nicht möglich, zu 680 dreimal eine Zahl zu addieren und damit das Doppel- te dieser Zahl zu erhalten. 5 Proportionalitäten 5.92 Zwei Größen sind direkt proportional, wenn dem Doppelten (Dreifachen, Vierfachen, …) der einen Größe das Doppelte (Dreifache, Vierfache, …) der anderen Größe entspricht. ZB: Die doppelte Menge Schinken kostet doppelt so viel. Die halbe Anzahl an Besu- chern bringt nur halb so viele Einnahmen. 5.93 Der Quotient der beiden Größen muss stets konstant sein. 5.94 ZB: 5ø Benzin kosten 7€, 8ø Benzin kosten 11,20€. 75 = 11,28 = 1,40€ 5.95 durch einen Strahl oder ausgewählte Punkte eines Strahls, beginnend beim Nullpunkt 5.96 Zwei Größen sind indirekt proportional, wenn dem Doppelten (Dreifachen, Vierfachen, …) der einen Größe die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel, …) der anderen Größe entspricht. ZB: Doppelt so viele Arbeiter benötigen für eine Arbeit die halbe Zeit. Ein Lebensmittel- vorrat reicht für halb so viele Personen dop- pelt so lang. 5.97 Das Produkt der beiden Größen muss stets konstant sein. 5.98 ZB: Die Fläche eines Rechtecks beträgt 48cm 2 . Wenn die Länge 24cm beträgt, ist die Breite 2cm, bei einer Länge von 8cm beträgt die Breite 6cm. 24·2 = 8·6 = 48 5.99 durch den Teil einer Hyperbel oder ausge- wählte Punkte einer Hyperbel. 5.100 1) 0,30€ 2) 0,90€ 3) 4,50€ 4) (0,3·n)€ 5.101 1) 45ø 2) flacher 5.102 5.103 5.104 a) 60 Fläschchen b) 100 Fläschchen c) 600 Fläschchen 5.105 6 Bekanntes und Neues aus der Geometrie 6.76 Das kartesische Koordinatensystem ist ein rechtwinkeliges Gitternetz. Vom Ursprung des Koordinatensystems, dem Punkt O = (0 1 0), geht ein Strahl nach rechts, die 1. Achse, und ein Strahl nach oben, die 2. Achse. Jedem Zahlenpaar entspricht genau ein Punkt im kartesischen Koordinaten- system. 6.77 1) Den Punkt P, der zum Zahlenpaar (4 1 7) gehört, erhält man, indem man auf der 1. Achse die Stelle 4 markiert und auf der 2. Achse die Stelle 7. Durch die beiden Markierungen konstruiert man eine Parallele zur jeweils anderen Achse. Der Schnittpunkt dieser beiden Parallelen ist der gesuchte Punkt P. 2) Nein. Das Zahlenpaar (7 1 4) entspricht einem anderen Punkt im Koordinatensystem. 6.78 spitzer Winkel: 0 < α < 90° rechter Winkel: α = 90° stumpfer Winkel: 90° < α < 180° gestreckter Winkel: α = 180° erhabener Winkel: 180° < α < 360° voller Winkel: α = 360° 6.79 1) Ergänzen zwei Winkel einander auf 90°, sind sie komplementär. 2) Ergänzen zwei Winkel einander auf 180°, sind sie supplementär. 279 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv