Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Lösungen 1 Teiler und Teilbarkeit 1.107 Ist eine natürliche Zahl durch t ≠ 0 teilbar, dann ist t ein Teiler dieser Zahl. Die Menge aller Teiler dieser Zahl nennt man Teiler- menge. 1.108 1) Die Zahlen 1 und z sind unechte Teiler der Zahl z. 2) Alle weiteren Teiler sind echte Tei- ler der Zahl z. 1.109 Ist t ein Teiler von z, dann ist z ein Vielfaches von t. 1.110 a) Ist t ein Teiler von z 1 und auch von z 2 , so ist t auch Teiler der Summe (z 1 + z 2 ). ZB: 3 ! 15 und 3 ! 21, dann gilt: 3 ! (15 + 21), also 3 ! 36 b) Ist t ein Teiler von z 1 und auch von z 2 (mit z 1 > z 2 ), so ist t auch Teiler der Differenz (z 1 – z 2 ). ZB: 7 ! 56 und 7 | 14, dann gilt: 7 ! (56 – 14), also 7 ! 42 c) Ist t ein Teiler von z, so ist t auch Teiler eines jeden Vielfachen von z. ZB: 4 ! 20, dann gilt: 4 ! (12·20), also 4 ! 240 1.111 a) Nur jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar. b) Nur jede Zahl mit der Einerziffer 5 oder der Einerziffer 0 ist durch 5 teilbar. c) Nur jede Zahl mit der Einerziffer 0 ist durch 10 teilbar. 1.112 a) Nur jede Zahl, deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist, ist durch 3 teilbar. b) Nur jede Zahl, deren Ziffernsumme durch 9 teilbar ist, ist durch 9 teilbar. 1.113 a) Nur jede gerade Zahl, deren Hälfte auch eine gerade Zahl ist, ist durch 4 teilbar. b) Nur jede gerade Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar. 1.114 Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, welche die Teilermengen dieser Zahlen gemeinsam haben. 1.115 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, welche die Vielfachenmen- gen dieser Zahlen gemeinsam haben. 1.116 Eine natürliche Zahl, die nur 1 und sich selbst als Teiler hat, ist eine Primzahl. Es gibt un- endlich viele Primzahlen. 1.117 Primzahlen als Teiler nennt man Primteiler bzw. Primfaktoren, die entsprechende Darstellung des Produkts nennt man Prim- faktorenzerlegung. Man dividiert eine Zahl durch deren kleinsten Primfaktor, schreibt den Quotienten an und verfährt so lange, bis sich als letzter Quotient 1 ergibt. 1.118 Der ggT muss alle gemeinsamen Primfakto- ren der Zahlen enthalten, das kgV muss alle Primfaktoren der Zahlen enthalten. 1.119 {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 1.120 a) a: 1, 2, 3, 6 b: 0, 2, 4, 6, 8 b) a: 1, 4, 7 b: 0, 5 c) a: 2, 6 b: 1 d) a: 0 b: 0, 3, 6, 9 e) a: 0 b: 1, 2, 5 f) a: 1, 4, 7 b: 8 1.121 15 ✓ 16 17 25 ✓ 33 42 60 ✓ 74 81 252 1002 2464 16260 ✓ Die Zahl 15 ist durch 3·5 = 15 teilbar. Die Zahl 252 ist durch 3·4 = 12 teilbar. Die Zahlen 60 und 16 260 sind durch 3·4·5 = 60 teilbar. 1.122 1·144 2·72 3·48 4·36 6·24 8·18 9·16 12·12 144·1 72·2 48·3 36·4 24·6 18·8 16·9 1.123 a) ZB: 1110, 2601, 5187 b) ZB: 1368, 3724, 8956 c) ZB: 2785, 4500, 7395 d) ZB: 1008, 4572, 5130 e) ZB: 2214, 3393, 7749 1.124 a) ggT(88; 46) = 2 b) ggT(112; 48) = 16 kgV(88; 46) = 2024 kgV(112; 48) = 336 1.125 a) 36 = 2·2·3·3 b) 396 = 2·2·3·3·11 d) 702 = 2·3·3·3·13 e) 1 375 = 5·5·5·11 c) 525 = 3·5·5·7 f) 2464 = 2·2·2·2·2·7·11 1.126 1.127 nach 5540cm 1.128 Bei dem Ausflug waren 37 Kinder dabei. Man könnte annehmen, dass auch 31 Kinder eine Lösung wäre, da 31 eine Primzahl ist. Würde man jedoch 31 Kinder in Viererreihen aufstel- len, blieben drei Kinder übrig. 1.129 Man braucht 252 Würfel mit je einem Volu- men von 4913cm³. (Kantenlänge eines Würfels = 17cm) 1.130 Sie hat Recht, da 321 = 3·107, 322 = 2·7·23, 323 = 17·19, 324 = 2·2·3·3·3·3, 325 = 5·5·13, 326 = 2·163, 327 = 3·109, 328 = 2·2·2·41 und 329 = 7·47. 2 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung 2.247 Eine Zahl in Bruchdarstellung hat einen Nen- ner, der angibt, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wird, sowie einen Zähler, der angibt, wie viele Teile es sind; zwischen Zähler und Nenner steht der Bruchstrich. Bei einer Zahl in Dezimaldarstellung sind vor dem Komma die Ganzen angeführt; an der ersten Stelle nach dem Komma stehen die Zehntel, dann die Hundertstel, usw. 2.248 Eine Zahl in endlicher Dezimaldarstellung hat eine begrenzte Anzahl von Ziffern nach dem Komma, zB: 7 __ 10 = 710 = 0,7; 7 _ 8 = 78 = 0,875. Ergibt die Division „ZählerNenner“ nie den Rest 0, dann handelt es sich um eine unendliche Dezimaldarstellung, zB: 7 _ 6 = 76 = = 1,1666 … = 1,1 • 6; 7 _ 9 = 79 = 0,777 7 … = 0, • 7 2.249 Wiederholen sich bei der Division „ZählerNenner“ Ziffern (oder Ziffernblöcke) nach dem Komma, dann handelt es sich um eine unendliche periodische Dezimaldar- stellung. zB: 1 _ 3 = 0,3333 … = 0, • 3; 5 __ 12 = 0,1466 … = 0,41 • 6; 5 __ 11 = 0,4545 … = 0, __ 45 2.250 1) Beim Erweitern werden Zähler und Nen- ner mit demselben Faktor multipliziert. 2) Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch denselben Divisor dividiert. 2.251 Eine Verhältnisgleichung gibt die Gleichheit zweier Verhältnisse an. Eine Bruchgleichung gibt die Gleichheit zweier Zahlen in Bruch- darstellung an. 2.252 1. Art: 3 _ 8 kann durch Division in eine Zahl in Dezimaldarstellung übergeführt werden: 3 _ 8 = 38 = 0,375 2. Art: 3 _ 8 kann auf einen Dezimalbruch erweitert und so in Dezimaldarstellung ange- schrieben werden: 3 _ 8 = 375 ___ 1000 = 0,375 2.253 1. Art: Der Zahlenvergleich erfolgt in Dezimal- darstellung: 5 _ 8 = 0,625; 2 _ 3 = 0, • 6 Da 0, • 6 > 0,625 ist 2 _ 3 > 5 _ 8 . 2. Art: Die Brüche werden auf einen gemein- samen Nenner erweitert; der Zahlenvergleich erfolgt durch den Vergleich der Zähler: 5 _ 8 = 15 __ 24 ; 2 _ 3 = 16 __ 24 ; 16 __ 24 > 15 __ 24 daher ist 2 _ 3 > 5 _ 8 . 3. Art: Der Zahlenvergleich erfolgt durch eine Kreisdarstellung der Zahlen: > daher ist 2 _ 3 > 5 _ 8 . 2.254 1) Zahlen in Bruchdarstellung mit gleichem Nenner werden addiert, indem man die Zähler addiert und deren Nenner belässt. 2) Zahlen in Bruchdarstellung mit gleichem Nenner werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und deren Nenner belässt. 2.255 Zahlen in Bruchdarstellung werden multi- pliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. 2.256 Beim Dividieren von Zahlen in der Bruchdar- stellung wird der Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. 2.257 Stehen im Zähler und im Nenner eines Bru- ches ebenfalls Zahlen in Bruchdarstellung, dann spricht man von einem Doppelbruch. 2.258 a) 3 _ 4 – 1 _ 8 = 6 _ 8 – 1 _ 8 = 5 _ 8 c) 1 _ 3 – 1 _ 4 = 4 __ 12 – 3 __ 12 = 1 __ 12 b) 1 _ 6 + 1 _ 4 = 2 __ 12 + 3 __ 12 = 5 __ 12 d) 2 _ 3 + 1 _ 6 = 4 _ 6 + 1 _ 6 = 5 _ 6 2.259 0, • 4 2.260 1 _ 3 < 3 _ 8 < 2 _ 5 2.261 33 __ 50 bzw. 0,66 2.262 1,75 kann als Dezimalbruch angeschrieben werden: 1,75 = 175 ___ 100 und dann durch 25 gekürzt werden: 175 ___ 100 = 7 _ 4 . 2.263 a) u = 2 3 __ 10 m b) A = 3 __ 10 m² 2.264 1) Beide haben 14 1 _ 4 kg Nüsse eingesammelt. 2) Jedes erhält 3 1 _ 2 kg Nüsse. 3) Es können fünf Säcke (ohne Rest) gefüllt werden. 4) Im Vorjahr hat Anette 8 2 _ 5 kg Nüsse auf- gesammelt. 2.265 2.266 a) Die beiden Zahlen in Bruchdarstellung werden in Dezimaldarstellung mit je einer Nachkommastelle umgeformt: 3 _ 5 = 0,6 bzw. 7 __ 10 = 0,7. Beim Rechnen in Bruchdarstellung wird so umgeformt: 0,44 = 44 ___ 100 ; die beiden anderen Brüche werden auf Hundertstel erweitert; dieser Lösungsweg erfordert etwas mehr Rechenarbeit. b) Die Zahl 0, • 3 wird als 1 _ 3 dargestellt; die Brüche werden auf den Nenner 18 erwei- tert. Beim Rechnen in Dezimaldarstellung wird mit unendlichen periodischen Dezimal- darstellungen gerechnet, was umständlich und fehleranfällig ist. 278 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv