Mathematik verstehen 2, Schulbuch

9.6 MERKwürdiges: Sind Waben und Fußbälle verwandt? 243 I 3 Geometrische Figuren und Körper Beim Betrachten von Bienenwaben fällt auf, dass diese aus regelmäßigen sechseckigen Zellen beste- hen, die genau aneinanderpassen. Die sechseckige Form einer Wabe eignet sich perfekt dazu, dass um sie herum sechs weitere sechseckige Waben sein können. Doch daran denken Bienen nicht, wenn sie die Zellen für die Aufzucht ihrer Larven verwenden. Es handelt sich eigentlich um kreisförmige Zellen, die bei günstigem Anlegen und optimaler Schlich- tung (Abb. 9.1) nach dem Aushärten die sechseckige Form bekommen (Abb. 9.2), die wir kennen. Außerdem haben die Kanten eines sechseckigen Gitters eine sehr kleine Länge, die mit einem drei- eckigen oder quadratischen Gitter nicht zu erreichen wäre. So können die Bienen mit möglichst ge- ringem Wachsverbrauch arbeiten. 120° 120° 120° 120° 120° 120° 60° 60° 60° 60° 60° Abb. 9.1 Abb. 9.2 Abb. 9.3 Dass regelmäßige Sechsecke so perfekt aneinanderpassen, hat damit zu tun, dass alle Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks das Maß 120° haben. Dies liegt daran, dass ein regelmäßiges Sechseck aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt ist, welche das Innenwinkelmaß 60° haben (Abb. 9.3). So kommen in einem Punkt stets drei Sechsecke zusammen: 120° + 120° + 120° = 360°. Diese können dann eine ganze Ebene ausfüllen. Auch bei der klassischen Form eines Fußball s wird man an regelmäßige Sechsecke erinnert. Aber bei genauerem Betrachten stellt man fest, dass die Fußballoberfläche auch regelmäßige Fünfecke aufweist. Um ein Fünfeck herum befinden sich fünf Sechsecke. Nun hat ein regel- mäßiges Fünfeck aber ein Innenwinkelmaß von 108°, während ein regel- mäßiges Sechseck 120° hat: 108° + 120° + 120° = 348° ≠ 360°. Wie ist das möglich? Das liegt daran, dass die Oberfläche eines Fußballs nicht eben, sondern gekrümmt ist. Es handelt sich um eine Kugel. Um diese dreidimensionale Gestalt eines Balls zu erreichen, ist daher an mehre- ren Stellen ein kleineres Vieleck notwendig: Beim Fußball ist es so, dass an jeder Ecke zwei regel- mäßige Sechsecke und ein regelmäßiges Fünfeck aneinanderliegen. So entsteht die Kugelform. Ein klassischer Fußball besteht somit aus 20 regelmäßigen Sechsecken und genau jenen zwölf regel- mäßigen Fünfecken, die einander jedoch an keiner Stelle der Oberfläche berühren. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv