Mathematik verstehen 2, Schulbuch

7.9 MERKwürdiges: Feuerbachs Kreis und Eulers Gerade 203 I 3 Geometrische Figuren und Körper Der Feuerbach-Kreis Die Mittelpunkte der Dreiecksseiten M a , M b , M c , die Höhen- fußpunkte H a , H b , H c und die Mittelpunkte A’, B’, C’ zwischen den Eckpunkten des Dreiecks und dem Höhenschnittpunkt H liegen auf einem Kreis. Dieser heißt Neunpunktekreis oder Feuerbach-Kreis , benannt nach dem deutschen Mathematiker Karl Wilhelm FEUERBACH (1800–1834). Der Mittelpunkt F des Feuerbach-Kreises liegt genau in der Mitte zwi- schen dem Umkreismit- telpunkt U und dem Höhenschnittpunkt H. Der Feuerbach-Kreis wird vom Inkreis und von den drei An- kreisen des Dreiecks ABC berührt und hat einen halb so gro- ßen Radius wie der Umkreis des Dreiecks. Beim gleichseitigen Dreieck wird der Feuerbach-Kreis zum Inkreis des Dreiecks. Die Euler’sche Gerade In jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt H , der Schwerpunkt S , der Mittelpunkt des Feuer- bachkreises F und der Umkreismittelpunkt U auf einer Geraden, der Euler’schen Geraden e , benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard EULER (1707‒1783). Der Inkreismittelpunkt I liegt im Allgemeinen nicht auf der Euler’schen Geraden (Abb. 7.6ab); eine Ausnahme ist das gleichschenkelige Dreieck (Abb. 7.6 c). A A A B B B H H H S S S F F F I I I U U U e e e C C C Abb. 7.6a Abb. 7.6b Abb. 7.6c Bei einem gleichseitigen Dreieck gibt es keine eindeutige Euler’sche Gerade, da alle fünf Punkte in einem Punkt zusammenfallen. Durch diesen Punkt lassen sich beliebig viele Geraden legen, die alle als Euler’sche Geraden aufgefasst werden könnten. Da eine Gerade nur durch zwei von einander verschiedene Punkte eindeutig bestimmt ist, kann es in diesem Fall keine Euler’sche Gerade geben. A A’ B’ C’ B M c M b H b H c H a H F U M a C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv