Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Spiegelt man den Umkreis eines Dreiecks ABC jeweils an dessen Dreiecksseiten, so schneiden einander die gespiegelten Kreislinien im Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! Für alle spitzwinkeligen Dreiecke ABC gilt, dass der Höhen- schnittpunkt H zugleich Inkreismittelpunkt des Dreiecks H a H b H c ist, wobei H a , H b und H c die Fußpunkte der Höhen h a , h b und h c sind. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! Südpolsatz : Für alle Dreiecke ABC gilt, dass die Seitensymmetrale einer Dreiecksseite und die Winkelsymmentrale des Winkels, der dieser Seite gegenüberliegt, einander auf dem Umkreis des Dreiecks schneiden. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! Die Verbindungsstrecken zwischen einem Eckpunkt des Dreiecks ABC und dem Berührpunkt des Inkreises auf der gegenüberliegenden Dreiecksseite schneiden einander in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt G , benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Diaz GERGONNE (1771‒1859). Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! A B G T c T b T a C Für den Schwerpunkt S, den Inkreismittelpunkt I und den Nagel-Punkt N (siehe Aufgabe 7.103) gilt in jedem Dreieck __ IS __ SN = 12. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewähl- ten Dreieck! 7.156 O A A B H h a H c H b H a h b h c C 7.157 O A 7.158 O A 7.159 O A 7.160 O A Zusammenfassung Ein Dreieck ist eine ebene Figur mit drei Seiten , drei Eckpunkten und drei Winkeln . Die Sum- me der Winkelmaße ist in jedem Dreieck 180° . Man unterscheidet spitzwinkelige , stumpfwinkelige , gleichschenkelige , gleichseitige , recht- winkelige und rechtwinkelig-gleichschenkelige Dreiecke. Dreiecke, bei denen entsprechende Seiten gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß sind, nennt man kongruent . Dies ist der Fall, wenn sie in allen drei Seitenlängen überein- stimmen (SSS-Fall), in zwei Seitenlängen und in dem Maß des Winkels, der von den beiden Seiten eingeschlossen ist (SWS-Fall), in zwei Seitenlängen und in dem Maß des Winkels, welcher der längeren Seite gegenüberliegt (SSW-Fall), sowie in einer Seitenlänge und in den Maßen zweier Winkel (WSW- bzw. SWW-Fall). Besondere Punkte beim Dreieck sind der Umkreismittelpunkt , der Inkreismittelpunkt , die Ankreismittelpunkte , der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt . Der Umfang eines allgemeinen Dreiecks ist u = a + b + c . Der Flächeninhalt in einem rechtwin- keligen Dreieck mit den Kathetenlängen a und b ist A = (a·b)2 . 201 I 3 Geometrische Figuren und Körper Nur zu Prüfzwecken  – Eigentum des Verlags öbv