Mathematik verstehen 2, Schulbuch

7.7 Sätze über Dreiecke Für alle Dreiecke ABC gilt, dass der Schnittpunkt zweier Seitensymmetralen von A, B und C gleich weit entfernt ist. Begründe diese Tatsache allgemein! m AC r r r m AB A B U C Lösung: Jeder Punkt der Seitensymmetrale m AB ist von A gleich weit entfernt wie von B. Jeder Punkt der Seitensymmetrale m AC ist von A gleich weit entfernt wie von C. Gemeinsam ist den beiden Seitensymmetralen der Punkt U. Also gilt für m AB : __ AU = ___ BU, und für m AC gilt: __ AU = __ CU. Daher: __ AU = ___ BU = __ CU = r. Für alle Dreiecke ABC gilt, dass der Schnittpunkt zweier Winkelsymmetralen von den drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt ist. Begründe diese Tatsache allgemein! w β w α α β γ ρ ρ ρ A B I C D E F Lösung: Jeder Punkt der Winkelsymmetrale w α ist von AC gleich weit entfernt wie von AB. Jeder Punkt der Winkelsymmetrale w β ist von BC gleich weit entfernt wie von AB. Gemeinsam ist den beiden Winkelsymmetralen der Punkt I. Der Punkt D liegt auf AB und DI © AB, der Punkt E liegt auf BC und EI © BC, der Punkt F liegt auf AC und FI © AC. Also gilt für w α : __ DI = __ FI, und für w β gilt: __ DI = __ EI. Daher: __ DI = __ EI = __ FI = ρ . Für alle Dreiecke ABC gilt, dass die drei Höhen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Begründe diese Tatsache allgemein! A E D F B C Lösung: Das Dreieck DEF wird so konstruiert, dass durch jeden Punkt A, B und C eine Parallele zur jeweils gegenüberliegenden Seite gezeichnet wird. Die Seiten des Dreiecks DEF sind nun doppelt so lang wie die des Dreiecks ABC (siehe Aufgabe 7.116). Die Seitensymmetralen des Dreiecks DEF schneiden einander in einem Punkt (siehe Aufgabe 7.151), diese sind die verlängerten Höhen des Dreiecks ABC. Damit lässt sich erkennen, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks DEF mit dem Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC übereinstimmt. Aufgaben Erweiterung und Vertiefung Die Schwerlinien des Mittendreiecks M a M b M c liegen auf den Schwerlinien des Dreiecks ABC. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! Spiegelt man den Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks ABC an dessen Dreiecksseiten, liegen die gespiegelten Punkte H 1 , H 2 und H 3 auf dem Umkreis des Dreiecks. Zeige die Richtigkeit dieses Satzes an einem selbstgewählten Dreieck! 7.151 O A 7.152 O A 7.153 O A 7.154 O A 7.155 O A 200 Nur zu Prüfzwecken , – Eigentum des Verlags öbv