Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Der Schwerpunkt Schneidet aus einem Karton ein Dreieck aus oder nehmt ein- fach euer Geodreieck und versucht es auf einem Finger oder einem Stift zu balancieren! Markiert diese Linien bzw. diesen Punkt auf dem Dreieck! Was fällt an der Lage der Linien und an der Lage des Punkts auf? Von jedem Eckpunkt eines Dreiecks geht jeweils eine Linie aus, auf der sich das Dreieck im Gleichgewicht halten lässt. Diese verläuft stets durch die Mitte einer Dreiecksseite. Alle drei Linien schneiden einander in jenem Punkt, in welchem sich das Dreieck auf der Spitze eines Fingers oder eines Stifts balancieren lässt. Es seien a, b und c die Seiten eines Dreiecks ABC. Eine Strecke, die von einem Eckpunkt zur Mitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite verläuft, nennt man Schwerlinie . Die drei Schwerlinien s a , s b und s c schneiden einander in einem Punkt S , dem Schwerpunkt . Konstruiere die Schwerlinien s a , s b und s c sowie den Schwerpunkt S im Dreieck ABC, wenn A = (1 1 1), B = (10 1 1) und C = (7 1 10)! Gib die Koordinaten von S an! Lösung: Die Punkte A, B und C werden in das Koordinatensystem einge- zeichnet und jeweils mit Strecken verbunden. Die Seitenhalbierungspunkte M a , M b und M c werden zB mit Streckensymmetralen ermittelt. Die Schwerlinien s a , s b und s c sind die Strecken zwischen den Eckpunkten und den Seiten- halbierungspunkten. Der Schnittpunkt der Schwer- linien ist der Schwerpunkt S = (6 1 4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 O 2 3 4 5 7 8 9 10 6 1. Achse 2. Achse M b M a M c A B S C c a b s c s a s b Fortsetzung von Aufgabe 7.107: Miss im Dreieck ABC die Längen 1) __ AS und ___ SM a , 2) __ BS und ___ SM b , 3) __ CS und ___ SM c ! Was fällt auf? Lösung: 1) __ AS ≈ 58mm, ___ SM a ≈ 29mm, 2) __ BS = 50mm, ___ SM b = 25mm, 3) __ CS ≈ 61mm, ___ SM c ≈ 30,5mm. Der Schwerpunkt des Dreiecks teilt die Schwerlinien im Verhältnis 21. Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Schwerlinien stets im Verhältnis 21 . C 7.106 7.107 O 7.108 O I 192 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv