Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Ankreismittelpunkte Versucht an die Dreiecksseiten a, b und c außen Kreise so anzusetzen, dass sie die Verlängerun- gen der Dreiecksseiten berühren! Nehmt dazu einen feinen Bleistift, damit not- falls das Ausradieren leichter fällt! Es wäre einfacher, solche Kreise zu finden, wenn man deren Mittelpunkte gegeben hätte. Diese kann man jedoch konstruieren. Der Mittelpunkt des Ankreises an die Dreiecks- seite a ist der Schnittpunkt der zwei Winkel- symmetralen des Außenwinkels beim Eck- punkt C und des Außenwinkels beim Eckpunkt B. Hier ist es sinnvoll, die Winkelsymmetralen als Geraden aufzufassen. Für die anderen beiden Ankreismittelpunkte verfährt man genauso. Es seien α = ¼ bc, β = ¼ ac und γ = ¼ ab die Winkel eines Dreiecks. Die Winkelsymmetralen w α ’ , w β ’ und w γ ’ der drei Außenwinkel α ’, β ’ und γ ’ schneiden einander in den Punkten A a , A b und A c , den Ankreismittelpunkten der Ankreise an die Dreiecksseiten a, b und c. Gegeben sind die Eckpunkte A = (4 1 6), B = (7 1 6) und C = (6 1 8) eines Dreiecks ABC. Konstruiere die Ankreismittelpunkte A a , A b und A c sowie die zugehörigen Ankreise! Lösung: Die Punkte A, B und C werden in das Koordina- tensystem eingezeichnet und jeweils mit Strecken verbunden. Die Dreiecksseiten wer- den auf beiden Seiten verlängert. Die Winkelsymmetralen w α ’ , w β ’ und w γ ’ der jewei- ligen Außenwinkel α ’, β ’ und γ ’ schneiden einan- der in den drei Ankreis- mittelpunkten A a , A b und A c . Die drei Radien r a , r b und r c sind jeweils die Normalabstände der Ankreismittelpunkte zu den anliegenden Drei- ecksseiten. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 O 2 3 4 5 7 8 9 10 11 6 1. Achse 2. Achse A c A a A b r b r a r c A B C c a b w α ’ β ’ β ’ w γ ’ w α ’ γ ’ A c B a C b B 7.97 7.98 O 190 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv