Mathematik verstehen 2, Schulbuch

Der Inkreismittelpunkt Eine große Wohnblockanlage ist so gebaut, dass der In- nenhof eine dreieckige Grundfläche hat. In diesem In- nenhof wurde ein Baum gepflanzt, der von jeder der drei Hausmauern genau gleich weit entfernt ist. Über- legt, wie man zu genau diesem Standort gekommen ist! Es gibt beliebig viele Standorte, die von zwei Hausmau- ern a und b gleich weit entfernt sind. Diese liegen auf der Winkelsymmetralen der Mauern, welche die Winkel- schenkel darstellen. Ist nun eine dritte Mauer c im Spiel, sind Winkelsymmetralen auch von den Winkeln nötig, die durch die Mauern a und c sowie b und c entstehen. Alle drei Winkelsymmetralen schnei- den einander in einem Punkt, der von a, b und c gleich weit entfernt ist. Gegeben sind die Punkte A = (0 1 1), B = (7 1 1) und C = (2,5 1 7). Konstruiere jenen Punkt I, der von AB, BC und AC gleich weit entfernt ist! Gib die Koordinaten von I und den Ab- stand zu den Dreiecksseiten an! 1 2 3 4 5 6 7 1 O 2 3 4 5 7 6 1. Achse 2. Achse I A B C w α β β w γ w α γ Lösung: Die Punkte A, B und C werden in das Koordinaten- system eingezeichnet und jeweils mit Strecken verbunden. Die Winkelsymmetralen w α , w β und w γ schneiden einander im Punkt I = (3 1 3). Der Ab- stand zu den Dreiecksseiten ist stets 2. Da der Punkt I von allen drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt ist, kann man diesen als Mittelpunkt des Inkreises mit dem Radius ρ = __ Ia = __ Ib = __ Ic ansehen. [ ρ , lies: „rho“] Es seien α = ¼ bc, β = ¼ ac und γ = ¼ ab die Winkel eines Dreiecks. Die Winkelsymmetralen w α , w β und w γ der drei Winkel α , β und γ schneiden einander in einem Punkt I , dem Inkreis- mittelpunkt . Der Punkt I ist von allen drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt . Konstruiere den Inkreismittelpunkt I und den Inkreis für das Dreieck ABC! Zeichne ρ ein! a) A = (2 1 1), B = (10 1 2), C = (0 1 7) b) A = (0 1 5), B = (6 1 1), C = (6 1 5) Lösung: a) b) 1 2 3 4 5 6 7 1 O 2 3 4 5 7 8 9 10 6 1. Achse 2. Achse α I A B C w β ρ ρ ρ β w γ w α γ 1 2 3 4 5 6 7 1 O 2 3 4 5 7 8 6 1. Achse 2. Achse γ α I A B C w β ρ ρ ρ β w γ w α Baum a b c 7.86 C 7.87 O 7.88 O 188 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv