Mathematik verstehen 1, Schulbuch

Rechengesetze anwenden Bisher wurde meist nur mit konkreten Zahlen gerechnet. Damit man aber allgemeine Regeln formulieren kann, die für beliebig viele Zahlen gelten, müssen Variablen verwendet werden. Diese sind meist Buchstaben, die einen Platz für eine bestimmte Zahl freihalten, sogenannte Leerstellen . (Siehe auch Kapitel 6!) Weitere Bezeichnungen für Variable sind Veränderliche oder Unbekannte . Berechne die Summe der Zahlen 62 und 71 auf zwei Arten und formuliere die Rechnung allgemein! Lösung: 1. Art: 62 + 71 = 133 2. Art: 71 + 62 = 133 Es gilt daher: 62 + 71 = 71 + 62 Sind nun a und b beliebige Summanden, schreibt man: a + b = b + a Berechne die Summe der Zahlen 62, 71 und 87 auf zwei Arten und formuliere die Rechnung allgemein! Lösung: 1. Art: 62 + 71 + 87 = (62 + 71) + 87 = 133 + 87 = 220 2. Art: 62 + 71 + 87 = 62 + (71 + 87) = 62 + 158 = 220 Es gilt daher: (62 + 71) + 87 = 62 + (71 + 87) Sind nun a, b und c beliebige Summanden, schreibt man: (a + b) + c = a + (b + c) Für die Addition gelten die folgenden beiden Rechengesetze : –– Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a Wenn man die Summanden vertauscht, ändert sich die Summe nicht. –– Assoziativgesetz der Addition: (a + b) + c = a + (b + c) Wenn man Summanden zu Teilsummen zusammenfasst, ändert sich die Summe nicht. Bemerkung:  Das Kommutativgesetz wird manchmal Vertauschungsgesetz und das Assoziativgesetz wird Verbindungsgesetz genannt. Die beiden Gesetze gelten übrigens nicht nur für zwei oder drei Summanden, sondern für beliebig viele, da jede Teilsumme als neuer Summand gesehen werden kann: –– Summanden dürfen in einer Addition beliebig vertauscht werden. –– Summanden dürfen in einer Addition beliebig zu Teilsummen zusammengefasst werden. Beispiele:  a + b + c + d = c + a + d + b = b + c + a + d = d + b + a + c = … (a + b + c) + d + e = a + (b + c + d + e) = a + b + c + (d + e) = … Vorsicht: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz gelten nicht bei der Subtraktion ! Beispiele:  25 – 15 ≠ 15 – 25, also a – b ≠ b – a (61 – 30) – 29 ≠ 61 – (30 – 29), da 31 – 29 ≠ 61 – 1, also (a – b) – c ≠ a – (b – c) Hinweis:  Das Symbol „≠“ bedeutet „ist (sind) nicht gleich“. D O 2.83  D O 2.84  53 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv