Mathematik verstehen 1, Schulbuch

Lösungen schriftlichen Division zweier Zahlen multipli- ziert man den Dividenden und den Divisor mit 10, 100, 1000, …, sodass das Komma des Dividenden und des Divisors um gleich viele Stellen nach rechts verschoben wird, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Dann geht man wie in 2) beschrieben vor. 3.199 mögliche Lösungen:  a)  0,91; 0,88; 0,906 b)  3,734; 3,7339; 3,728  c)  27,9801; 27,975; 27;984  d)  856,409891; 856,409886; 856,408913 3.200 Sie legt 176km zurück. 3.201 Man berechnet die Dicke eines Brettes. 3.202 Sie muss an Mia 4€ und 1 Cent zahlen. 3.203 36,5°C; 37,8°C; 38,9°C; 40,2°C 3.204 Er wird sich für die Packung mit der Auf- schrift 0,496kg entscheiden, da nur 4g auf 0,5kg fehlen, was beim Kochen keine Rolle spielt. 3.205 1)  ca. 4,1 ® auf 100 Kilometer  2)  Es fährt ca. 24km weit.  3)  59,92€  4)  1,8€. 3.206 3.207 Die Waage muss 2,75kg anzeigen, da die Äpfel 0,5kg, die Kartoffel 0,75kg und die Milch insgesamt 1,5kg wiegen. 3.208 Das Ergebnis einer Division bleibt gleich, wenn man den Dividenden und den Divisor jeweils mit 100 multipliziert. 3.209 Mögliche Antworten:  a)  Multipliziere die Summe der Zahlen 35,8 und 69,2 mit 3,99! b)  Dividiere die Summe der Zahlen 1,5 und 6,9 durch 4,2!  c)  Bilde die Differenz von 399 und dem Dreifachen der Summe der Zahlen 12,99 und 16,99! 4 Länge, Masse, Temperatur, Zeit 4.72 Messen bedeutet, das Maß von etwas mit- tels Maßzahl und Maßeinheit festzustellen. 4.73 Die Maßzahl gibt an, wie viele Maßeinheiten ein Gegenstand aufweist, zB: 4cm, 80kg, … 4.74 Millimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter, Kilo- meter 10mm = 1cm, 10cm = 1dm, 10dm = 1 m, 1000m = 1km 4.75 1 m: zB Türbreite, 1dm: zB Länge einer Fliese, 1cm: zB Breite eines Fingers, 1mm: zB Breite eines Filzstiftstrichs 4.76 Die Maßeinheit für die Masse lautet Kilo- gramm. 1kg = 100dag, 1dag = 10g, 1g = 1000mg 4.77 1t: zB junger Elefant, 1kg: zB Literpackung Saft, 1 g: zB Reißnagel, 1mg: zB Ameise 4.78 Die Maßeinheit für die Temperatur lautet Grad Celsius. Weitere Maßeinheiten sind Kelvin und Grad Fahrenheit. 4.79 kurze Zeitspannen: Sekunden, Minuten; längere Zeitspannen: Stunden, Tage, Wochen, Monate, Jahre 4.80 Zeitpunkt: Uhrzeit; Zeitdauer: Zeitspanne zwischen zwei Zeitpunkten 4.81  8200cm 0,082km 4.82 60,96cm 4.83 25mg < 0,9g < 0,00003t < 6dag < 92g < < 0,3kg < 0,706kg < 4,27kg < 524dag < 89t 4.84 8,2°C 4.85 um 7.50 Uhr 4.86 1)  0,09min ≠ 9s, da kein dekadisches System vorliegt.  2)  0,15min  3)  A: 22s, G: 24s 4.87 B, C, E 4.88 4.89 Das ist richtig, denn 325100 = 3,25. 4.90 20 Uhr. Bei der Umstellung von Sommerzeit auf Winterzeit werden die Uhren um eine Stunde zurückgestellt. Ist es am Vortag der Umstellung 19 Uhr, ist es 24 Stunden danach 18 Uhr. 5 Zahlen in Bruchdarstellung 5.105 Einen Bruchteil erhält man, indem ein Ganzes in gleich große Teile unterteilt wird. 5.106 Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes unterteilt wird. Der Zähler zählt, wie viele Teile es sind. 5.107 Bruchzahlen können durch Kreis-, Strecken- oder Rechtecksdarstellungen veranschaulicht werden. 5.108 2 = ​  4 _ 2 ​= ​  6 _  3 ​= ​  20 __  10 ​= … 5.109 Eine Zahl in Bruchdarstellung kann als Ergebnis einer Division gedeutet werden: ​  3 _ 4 ​= 3 : 4 = 0,75; ​  7 __  10 ​= 7 : 10 = 0,7; ​  7 _ 2 ​= 7 : 2 = 3,5 5.110 Bei einem Stammbruch ist der Zähler 1, zB: ​  1 _ 2 ​, ​  1 _ 5 ​, ​  1 __  13 ​… Bei Dezimalbrüchen ist der Nenner 10, 100, 1000, …, zB: ​  3 __  10 ​, ​  7 ___  100 ​, ​  19 ___  1000 ​ 5.111 Die Multiplikation kann als verkürzte Addi­ tion oder als Berechnung eines Anteils gedeutet werden. 5.112 Bei der Multiplikation von zwei Zahlen in Bruchdarstellung gilt das Kommutativgesetz, zB: ​  1 _ 2 ​·​  1 _ 4 ​= ​  1 _ 4 ​·​  1 _ 2 ​= ​  1 _ 8 ​; ​  1 _  3 ​·​  1 __  10 ​= ​  1 __  10 ​·​  1 _ 3 ​= ​  1 __  30 ​ 5.113 1)  ​  2 _ 3 ​ ​  2 _ 4 ​ ​  5 _ 6 ​ ​  3 _ 8 ​ 2)  ​  3 _ 8 ​< ​  2 _ 4 ​< ​  2 _ 3 ​< ​  5 _ 6 ​ 5.114 a)  ​  1 _ 4 ​> ​  1 _ 8 ​  b)  ​  2 __  10 ​< ​  3 __  10 ​  c)  ​  4 _ 8 ​= ​  1 _ 2 ​  d)  ​  3 _ 8 ​< ​  3 _ 4 ​  e)  ​  5 __  10 ​< ​  10 __ 5  ​ 5.115 Pamina und Daniel haben gleich viel Pizza erhalten, denn: ​  4 _ 8 ​= ​  3 _ 6  ​= ​  1 _ 2 ​ 5.116  ​  8 _ 6 ​   ​  3 _ 4 ​   ​  3 _ 8 ​   ​  6 _ 8 ​   ​  4 _ 3 ​ 5.117 5.118 Es sind ​  7 __  12 ​des Rechtecks schraffiert. 5.119 ​  1 _ 2 ​+ ​  1 _ 8 ​+ ​  2 _ 8 ​= ​  7 _ 8 ​ 5.120 Jede Person erhält ​  2 __  10 ​Liter Orangensaft. 5.121 1)  Anja: 31250€ Barbara: 56250€ Christa: 12500€ Doreen: 37500€ 2)  Die Notarkosten betragen ​  1 __  12  ​des Vermö- gens. 5.122 Der Turm soll 324cm hoch werden. 5.123 5.124 Auf einer Strecke von sechs Metern macht Inés 15 Schritte: 6m : ​  2 _ 5 ​m = 6·5 : 2 = 15 5.125 Das Brett ist noch 1​  1 _ 4 ​m lang: ​  7 _ 4 ​m – ​  1 _ 2 ​m = ​  7 _ 4 ​m – ​  2 _ 4 ​m = ​  5 _ 4 ​m = 1 ​  1 _ 4 ​m 0,1 0,5 ​  3 _  4  ​ ​  1 _  3 ​ 1,2 2,6 ​  1 _  10  ​ 0,75 ein Achtel 0,125 ​  2 _  6 ​ 2 ​  3 _  5 ​ ​  1 _  2 ​ ​  6 _  5 ​ 6 Mit Variablen arbeiten 6.86 Eine Variable ist eine unbestimmte Zahl. Man kann sie beispielsweise durch eine Strecke darstellen. 6.87 Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck. 6.88 Ersetzt man die Variable durch eine beliebige zum Sachverhalt passende Zahl, so wird der Term zu einer bestimmten Zahl. Diese ist von der Wahl der eingesetzten Zahl abhängig. 6.89 Eine Gleichung stellt einen Zusammenhang zwischen Termen dar. Dabei stehen links und rechts vom Gleichheitszeichen Terme. Wäh- rend man bei Termen jede beliebige Zahl ein- setzen darf, kommt es vor, dass man bei Glei- chungen unwahre Aussagen erhält, wenn man falsche Werte für Variablen einsetzt. 6.90 a + 17 = 48 Sowohl a als auch 17 werden jeweils durch eine Strecke ausgedrückt. Die beiden Strecken zusammen kennzeichnen den Term a + 17, der auf einer Seite der Glei- chung steht. Dabei ist nicht wichtig, wie lang die einzelnen Strecken gezeichnet sind. Wichtig ist nur, dass die obere Gesamtstrecke gleich lang gezeichnet wird wie die untere Strecke. Diese kennzeichnet den Term auf der anderen Seite der Gleichung, hier 48. 6.91 Handelt es sich um eine Gleichung mit einer Variablen, so wird jene Zahl gesucht, die die Gleichung erfüllt. Streckendarstellungen kön- nen dabei helfen. 6.92 Eine Ungleichung stellt einen Zusammen- hang zwischen Termen dar. Dabei stehen links und rechts von einem Ungleichheits­ zeichen(<, >, ª oder º) Terme. 6.93 Mindestens bedeutet größer oder gleich. Höchstens bedeutet kleiner oder gleich. 6.94 Eine Aussage wie 10 < k ª 20 nennt man Ungleichungskette. 6.95 Bei proportionalen Größen ist die Verdopp- lung (Verdreifachung, Halbierung, …) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der anderen Größe verbunden. 6.96 w = n + 8 oder w – n = 8 oder n = w – 8 6.97 Es sind dreimal so viele Mädchen wie Buben in der Klasse. 6.98 x…Variable  1)  x2 + 2,5 x = 6 Ergebnis: 5,5 2)  2·x – 5 x = 6 Ergebnis: 7 3)  2·x·5 x = 6 Ergebnis: 60 6.99 1)  x + y + z x = 25, y = 40, z = 2 Ergebnis: 67 2)  z + x + y x = 25, y = 40, z = 2 Ergebnis: 67 Die Ergebnisse sind gleich. Bezüglich der Addition gilt das Kommutativgesetz. 6.100 6.101 1)  m + m + 2 oder 2·m + 2… 2)  m + m2… 3)  m + m·3… 6.102 Der Stundenlohn beträgt 17€. 6.103 Nein. Bei doppelter Seitenlänge müsste auch der Flächeninhalt doppelt so groß sein, bei dreifacher Seitenlänge müsste sich der Flä- cheninhalt verdreifachen… 6.104 Sie ist 1)  450m  2)  750m und  3)  1200m vom Ausgangspunkt entfernt. 6.105 a)  k = 6 Zum Achtfachen welcher Zahl addiert man 67, damit man 115 erhält? 279 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv