Mathematik verstehen 1, Schulbuch

Lösungen 1 Natürliche Zahlen 1.142 Gerade Zahlen lassen sich durch Dinge in Zweierreihen angeordnet darstellen, ungera- de Zahlen nicht. 1.143 Man erhält die Vielfachen einer natürlichen Zahl, indem man diese mit 1, 2, 3, … multi pliziert. 1.144 Um den Vorgänger einer natürlichen Zahl zu ermitteln, muss man von dieser Zahl 1 ab ziehen, um den Nachfolger einer natürlichen Zahl zu ermitteln, muss man zu dieser Zahl 1 dazuzählen. 1.145 Eine Zahlenmenge ist eine Zusammen fassung von Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft, zB die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen N u . 1.146 Kardinalzahlen geben über Größen von Men- gen oder Messergebnisse Auskunft, Ordinal- zahlen geben einen Rangplatz innerhalb von Mengen an. 1.147 In einer römischen Zahl dürfen höchstens drei gleiche Zeichen nebeneinander stehen. Grundsätzlich stehen Zeichen mit größerem Wert links von Zeichen mit kleinerem Wert. Steht ein Zeichen mit kleinerem Wert links von einem Zeichen mit größerem Wert, so wird der kleinere Wert vom größeren abge- zogen. 1.148 Dekadische Einheiten sind zB Einer, Zehner, Hunderter, … 1.149 Eine Ungleichungskette gibt mehrere Zahlen der Größe nach geordnet an. Eine Kleiner- Kette beginnt bei der kleinsten und endet bei der größten Zahl, eine Größer-Kette beginnt bei der größten und endet bei der kleinsten Zahl. Zwischen den Zahlen stehen Ungleichheitszeichen. 1.150 Jeder Zahl entspricht ein Punkt auf dem Zahlenstrahl. Die Zahlen werden nach rechts hin größer. Der Zahlenstrahl hat den Anfang bei 0, aber kein Ende. 1.151 Der Rundungsfehler ist der Unterschied zwischen dem wahren und dem gerundeten Wert. Die kleinere Zahl wird von der größe- ren abgezogen, das Ergebnis ist der Run- dungsfehler. 1.152 Kleiner-Kette: 34809 < 34908 < 38049 < 38490 < 39840 Größer-Kette: 39840 > 38490 > 38049 > 34908 > 34809 1.153 1) 2T 8H 3E, 2) MMDCCCIII 1.154 16, 40, 72, 128, 184, 296 1.155 100000000000, elf Nuller 1.156 437 149 1.157 1) 35, 90, 105, 185 2) 0 20 100 15 145 1.158 1.159 Die Zahl lautet 63. Man dividiert 189 durch 3, denn 62 + 63 + 64 = 63 + 63 + 63 = 3·63. 1.160 1.161 zB: drei 100er, einen 50er, fünf 10er oder drei 100er, einen 50er, einen 20er, drei 10er oder zwei Hunderter, drei 50er, einen 20er, drei 10er 1.162 etwas weniger als acht Stunden, da er in einer Stunde durchschnittlich 5km schafft und er so in acht Stunden 40km zurücklegen würde 1.163 etwas weniger als acht Mal, da 300000 : 40000 ≈ 8 1.164 ungefähr eine Million Euro 1.165 Das Zentrum des Gewitters ist ungefähr einen Kilometer von Daniel entfernt. 2 Mit natürlichen Zahlen rechnen 2.260 Addieren ist das Zusammenfügen bzw. Zu- sammenzählen von Zahlen. Subtrahieren ist entweder das Wegnehmen einer Zahl von einer anderen, das Vergleichen zweier Zahlen oder das Ergänzen einer Zahl auf eine an dere. Addieren und Subtrahieren sind ent gegengesetzte Rechenarten. 2.261 durch eine Streckendarstellung, eine Pfeil- darstellung oder eine Punkt-Pfeil-Darstellung 2.262 Was in Klammern steht, muss zuerst berech- net werden. ZB: 10 – (5 + 2) = 10 – 7 = 3 2.263 Durch mehrfache Addition mit gleichen Summanden entsteht eine Multiplikation. Die Division ist ein fortgesetztes Abziehen ein und desselben Subtrahenden. Multipli zieren und Dividieren sind entgegengesetzte Rechenarten. 2.264 durch eine Streckendarstellung, ein Punkte- feld oder ein Kombinationsdiagramm 2.265 Bei der Teilung gibt der Quotient an, wie groß ein Teil ist. Bei der Messung gibt der Quotient an, wie oft der Divisor im Dividen- den enthalten ist. 2.266 Kommutativgesetz: Vertauscht man Sum- manden (Faktoren), ändert sich die Summe (das Produkt) nicht. Assoziativgesetz: Fasst man Summanden (Faktoren) zu Teilsummen (Teilprodukten) zusammen, ändert sich die Summe (das Produkt) nicht. Sie gelten bei Addition und Multiplikation. Distributivgeset- ze: Ein Faktor wird auf Summanden (den Minuenden und den Subtrahenden) verteilt. Ein Divisor wird auf Summanden (den Minu- enden und den Subtrahenden) verteilt. 2.267 Was in Klammern steht, muss zuerst berech- net werden. Punktrechnungen werden vor Strichrechnungen ausgeführt. Ansonsten wird von links nach rechts gerechnet. 2.268 1) Vertauscht man die Summanden a und b, ändert sich die Summe nicht. 2) Es gilt nur noch für die Multiplikation: 8·4 = 4·8, denn 8 – 4 ≠ 4 – 8 und 8 : 4 ≠ 4 : 8. 2.269 2.270 1) 7, 2) 0, 3) 0, 4) 7, 5) 0, 6) nicht möglich, 7) nicht möglich 2.271 1) Katharina zahlt 12€, die anderen jeweils 4€. 2) ZB: Sie ist den Freundinnen noch etwas schuldig, und da 28 : 7 = 4, zahlt Katha- rina den dreifachen Betrag der anderen. 2.272 a) ZB: 30€, 5 Leute: 30 : 5 = (30·3) : (5·3) = 6 (Jede Person erhält 6€.) b) ZB: 10 Teppiche, je 3 m Länge: 10·3 = (10 : 2)·(3·2) = 30 (Der Gang ist 30 m lang.) c) ZB: 40 Liter Benzin, 5-Liter-Kanister: 40 : 5 = (40·4) : (5·4) = 8 (8 Kanister werden gefüllt.) 2.273 B , es wurde nicht von links nach rechts gerechnet. 2.274 A 71 – (59 – 4) = 16 B 71 – (59 + 4) = 8 C 71 + 59 – 4 = (71 + 59) – 4 = 71 + (59 – 4) = = 126 D 71 + 59 + 4 = (71 + 59) + 4 = 71 + + (59 + 4) = 134 2.275 a) Ja, wenn ein Summand um eine größere Zahl vergrößert wird, als der andere Sum- mand verkleinert wird. ZB: 6 + 5 = 11; (6 – 2) + (5 + 10) = 19 b) Ja, wenn der Subtrahend um eine größere Zahl vergrößert wird als der Minuend. ZB: 12 – 7 = 5; (12 + 5) – (7 + 8) = 2 c) Nein, das Produkt kann gleich wie, kleiner oder größer als das ursprüngliche sein. ZB: 6·9 = 54; (6 – 3)·(9 + 9) = 54; (6 – 4) ·(9 + 3) = 24; (6 – 1)·(9 + 10) = 95 d) Nein, der Quotient kann gleich wie, grö- ßer oder kleiner als der ursprüngliche sein. ZB: 24 : 4 = 6; (24 + 12) : (4 + 2) = 6; (24 + 6) : (4 + 2) = 5; (24 + 2) : (4 + 9) = 2 3 Zahlen in Dezimaldarstellung 3.192 Eine Erweiterung der Stellenwerttafel rechts vom Komma ist möglich, da man die Zahl 1 in Zehntel, Hundertstel,… unterteilen kann. 3.193 Ja, da man an die Nachkommastellen die Zif- fer Null setzen kann ohne den Wert der Zahl zu verändern. 3.194 Zahlen mit einer Nachkommastelle/mit zwei Nachkommastellen/… lassen sich auf dem Zahlenstrahl darstellen, wenn wir die Stre- cken zwischen aufeinanderfolgenden natürli- chen Zahlen in zehn/hundert/…. gleichlange Abschnitte unterteilen. Zahlen am Zahlen strahl werden von links nach rechts stets größer. 3.195 Beim Runden einer Zahl auf eine bestimmte dekadische Einheit entscheidet die jeweils rechtsstehende Ziffer. Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird ab- gerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. 3.196 Es ist wichtig, auf das Komma achtzugeben. Die Kommata müssen genau untereinander stehen. Sonst gelten dieselben Rechenre- geln wie für das Rechnen mit natürlichen Zahlen. 3.197 1) Multipliziert man eine Zahl in Dezimal darstellung mit 10, 100, 1000, …, so werden die Ziffern dieser Zahl in der Stellenwerttafel um eine Stelle, um zwei Stellen, um drei Stellen, … nach rechts verschoben. 2) Ist der zweite Faktor eine natürliche Zahl, muss das Produkt ebenso viele Nachkomma stellen aufweisen wie der erste Faktor. 3) Multipliziert man eine Zahl in Dezimal darstellung mit 0,1; 0,01; 0,001; …, so werden die Ziffern dieser Zahl in der Stellenwerttafel um eine Stelle, um zwei Stellen, um drei Stellen, … nach links verschoben. 4) Bei der schriftlichen Multiplikation zweier Zahlen in Dezimaldarstellung muss das Pro- dukt ebenso viele Nachkommastellen auf- weisen wie beide Faktoren zusammen. Sonst gelten dieselben Rechenregeln wie für das Rechnen mit natürlichen Zahlen. 3.198 1) Dividiert man eine Zahl in Dezimaldarstel lung durch 10, 100, 1000, …, so werden die Ziffern dieser Zahl in der Stellenwerttafel um eine Stelle, um zwei Stellen, um drei Stellen, … nach links verschoben. 2) Ist der Divisor eine natürliche Zahl, muss im Quotienten ein Komma gesetzt werden, sobald die erste Zif- fer des Dividenden nach dem Komma herun- tergeschrieben wird. 3) Wird eine Zahl in Dezimaldarstellung durch 0,1; 0,01; 0,001, … dividiert, muss das Komma um eine Stelle, um zwei Stellen, um drei Stellen, … nach rechts verschoben werden. 4) Bei der 278 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv