99 Dynamische Systeme > Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Der Luftdruck p auf Meeresniveau beträgt normgemäß p 0 = 1 bar. Mit zunehmender Höhe nimmt der Luftdruck ab. Die momentane Änderungsrate des Luftdrucks in jeder beliebigen Höhe h (in Metern m) ist direkt proportional zum Luftdruck in der aktuellen Höhe. Stelle für die Abnahme des Luftdrucks eine Differentialgleichung auf und löse diese. Bei einem Zerfallsprozess gibt N (t) die Menge (in mg) des noch vorhandenen radioaktiven Elements t Minuten nach Beobachtungsbeginn an. a) Interpretiere die Differentialgleichung N ‘(t) = − 0,005 · N(t) in diesem Kontext und löse sie für N(0)= 8 mg. b) Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktiven Elements. Kontinuierliches beschränktes Modell Ist eine Größe y in einem Zeitintervall [t;t+∆t] beschränkt wachsend mit der Wachstumsgrenze W, ist die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitintervall direkt proportional zum noch vorhandenen Freiraum (W − y(t)). D.h. y(t + ∆ t) − y(t) _ ∆ t = m · (W − y(t)), m ∈ ℝ\{0}. Strebt ∆ t gegen null, gilt: lim ∆t→0 y(t + ∆ t) − y(t) _ ∆ t = m · (W − y(t)) bzw. y‘(t) = m · (W − y(t)). Die Lösung einer solchen Differentialgleichung lautet y(t) = W − (W − y 0) · e −m·t (t ∈ ℝ 0 +) mit dem Anfangsbestand y0 = y(0), der Wachstumsgrenze W und dem Freiraum W − y 0. Kontinuierliches beschränktes Wachstumsmodell Die Bestandsgröße y wächst beschränkt, wenn die momentane Änderungsrate y ‘direkt proportional zum momentanen Freiraum und W − y 0 > 0ist. Mit der Anfangsbedingung y (0) = y 0, der Wachstumsgrenze W und dem Freiraum W − y 0 gilt: y‘(t) = m · (W − y(t)) ⇔ y(t) = W − (W − y 0) · e −m·t Der zugehörige Graph der Funktion y mit W − y 0 > 0ist in der Abbildung dargestellt. Ein bei 220°C gebackener Kuchen wird in der 20°C warmen Küche auf den Tisch gestellt. Man weiß aus Beobachtungen, dass die momentane Temperaturänderung des Kuchens zu jedem beliebigen Zeitpunkt (in Minuten) rund 12,6 % der Differenz zur Umgebungstemperatur beträgt. a) Beschreibe die momentane Temperaturänderung durch eine Differentialgleichung und gib deren Lösung an. b) Bestimme die Temperatur des Kuchens nach 15 Minuten. a) Für die Differentialgleichung gilt mit dem Proportionalitätsfaktor m = 12,6 % = 0,126: y‘(t) = 0,126(20 − y(t)) Die Lösung der Differentialgleichung ist y(t) = 20 − (20 − 220) · e −0,126 t= 20 + 200 · e−0,126 t. b) Man setzt 15 in die Lösungsfunktion der Differentialgleichung ein: y(15)= 20 + 200 · e−0,126·15 ≈ 50,2. Nach 15 Minuten ist der Kuchen auf ca. 50°C abgekühlt. Der Kaffee in einer Tasse hat eine momentane Temperatur von 80°C. Die Temperaturänderung des Kaffees in der Tasse ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt (in Minuten) rund 20 % der Differenz zur Umgebungstemperatur. Die Raumtemperatur beträgt 22°C. a) Gib eine Differentialgleichung und ihre Lösung für die momentane Temperaturänderung an. b) Bestimme die Temperatur des Kaffees nach drei Minuten. c) Berechne, nach wie vielen Minuten die Temperatur des Kaffees auf 35°C gesunken ist. 283 284 Merke t y(t) y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 0 Grenze W begrenztes Wachstum Muster 285 286 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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