98 Dynamische Systeme > Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 4 Kontinuierliches exponentielles Modell Ändert sich eine Größe y in einem Zeitintervall [t;t+∆t] exponentiell, ist die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitintervall direkt proportional zu y(t). D.h. y(t + ∆ t) − y(t) _ ∆ t = m · y(t), m ∈ ℝ\{0}. Strebt ∆tgegen null, gilt: lim ∆t→0 y(t + ∆ t) − y(t) _ ∆ t = m · y(t)bzw. y‘(t) = m · y(t). Die Lösung einer solchen Differentialgleichung lautet y(t) = y 0 · e m·t mit dem Anfangsbestand y0 = y(0) und t ∈ ℝ 0 +. Die Zahl m ∈ ℝ wird als Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Für m > 0wird eine Zunahme und für m < 0eine Abnahme modelliert. Kontinuierliches exponentielles Modell Die Bestandsgröße y verändert sich exponentiell, wenn die momentane Änderungsrate y ‘zu jedem beliebigen Zeitpunkt proportional zum Bestand y ist. Mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0 gilt: y‘(t) = m · y(t) ⇔ y(t) = y 0 · e m·t m ≠ 0 Der zugehörige Graph der Funktion y mit m > 0ist in der Abbildung dargestellt. Die Bakterienkultur in einer Petrischale bedeckt zu Beginn der Beobachtung eine Fläche von 10 cm 2. Die momentane Änderungsrate des von den Bakterien bedeckten Flächeninhaltes ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt (in Stunden t) direkt proportional zum aktuellen Flächeninhalt. Der Proportionalitätsfaktor ist 0,02. a) Beschreibe den Änderungsprozess des von der Bakterienkultur bedeckten Flächeninhaltes y(t)(in cm2) nach t Stunden durch eine Differentialgleichung und löse diese. b) Bestimme den von den Bakterien bedeckten Flächeninhalt nach 4,75 Stunden. c) Gib die Zeit an, nach der sich der Flächeninhalt verdreifacht hat. a) Es gilt: y‘(t) = 0,02 · y(t). Ausgehend von y0= 10 cm 2 gilt für die Lösung: y(t)= 10 · e0,02·t. b) Setzt man 4,75 in die Lösung der Differentialgleichung ein, erhält man den nach dieser Zeitspanne durch die Bakterienkultur bedeckten Flächeninhalt: y(4,75) ≈ 11 cm2 c) Man sucht die Zeit, nach der y(t)= 3·10 = 30cm2 ist. Dazu löst man die dazugehörige Exponentialgleichung: 3 0 = 10 · e0,02·t ⇒ 3 =e0,02·t ⇒ ln(3) = 0,02 · t ⇒ t = ln(3) _ 0,02 ≈ 54,93 Nach rund 55 Stunden hat sich der Flächeninhalt verdreifacht. Eine Zellkultur auf einem Nährboden nimmt eine Fläche von 2 0 cm2 ein. Die momentane Änderungsrate des von der Zellkultur bedeckten Flächeninhalts ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt (in Stunden) direkt proportional zum aktuellen Flächeninhalt. Der Proportionalitätsfaktor beträgt 0,03. a) Stelle eine Differentialgleichung für das Wachstum der Zellkultur auf und löse diese. b) Berechne den Flächeninhalt der Zellkultur nach 4,25 Stunden. c) Bestimme, nach wie vielen Stunden sich der Flächeninhalt verdoppelt hat. Bei einem exponentiellen Änderungsprozess ist die momentane Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt 25 % des aktuellen Bestandes y. Kreuze die Differentialgleichung an, die diesen Vorgang korrekt beschreibt. A B C D E F y‘(t) = 16 · y(t) y‘(t) = 4 · y(t) 2 · y‘(t) = y(t) 4 · y‘(t) = y(t) y‘(t) = 1 _ 2 · y(t) y‘(t) = 2 · y(t) Ó Vertiefung Kontinuierliches exponentielles Wachstumsmodell b3cm8n Merke t y(t) y exponentielles Wachstum 5 10 15 –10 –5 5 10 15 20 0 Muster 280 281 282 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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