97 Dynamische Systeme > Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Löse die Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung. a) y‘(t) = 0,4 · (12 − y(t)) y(0) = 2 d) y‘(t) = 7 − y(t) y(0) = 5 b) y‘(t) = 3 · (10 − y(t)) y(0) = 1 e) y‘(t) = 0,2 · (30 − y(t)) y(0) = 10 c) y‘(t) = 0,5 · (20 − y(t)) y(0) = 4 f) y‘(t) = 2 · (11 − y(t)) y(0) = 3 Löse die Differentialgleichung mit der gegebenen Bedingung. a) y‘(t) = 0,1 · (3 − y(t)) y(1) = 4 d) y‘(t) = 2,2 · (8 − y(t)) y(1) = 1 b) y‘(t) = 2 · (8 − y(t)) y(3) = 1 e) y‘(t) = 4 · (30 − y(t)) y(5) = 6 c) y‘(t) = 0,2 · (30 − y(t)) y(2) = 5 f) y‘(t) = 5 · (11 − y(t)) y(6) = 2 Kontinuierliches lineares Wachstumsmodell und Abnahmemodell Wird die Änderung einer Bestandsgröße y zu jedem beliebigen denkbaren Zeitpunkt ohne Zeitlücken betrachtet, spricht man von einem kontinuierlichen Wachstums- bzw. Abnahmemodell. Dabei beschreibt y0 den Bestand zu Beginn der Beobachtung. Ist dabei die momentane Änderungsrate konstant k, ändert sich der Bestand y linear. Mathematisch wird die momentane Änderungsrate durch die erste Ableitung beschrieben. D.h. die kontinuierliche lineare Änderung der Bestandsgröße y(t) kann durch y‘(t) = kbeschrieben werden. Die so erhaltene Differentialgleichung hat die Lösung y(t) = k·t + y0 mit t ∈ ℝ 0 +. Kontinuierliches lineares Modell Die Bestandsgröße y verändert sich linear, wenn die momentane Änderungsrate zu jedem beliebigen Zeitpunkt konstant ist. Mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0 gilt: y‘(t) = k ⇒ y(t) = k·t + y0 mit t ∈ ℝ 0 + Ein vom Boden einer Höhle emporwachsender Tropfstein (Stalagmit) hat eine Höhe von 1200 mm. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 3 mm/Jahr. Modelliere die Änderung der Höhe des Stalagmiten durch eine Differentialgleichung und gib deren Lösung an. Bestimme die Höhe des Stalagmiten nach 20,5 Jahren. Für die Höhenänderung gilt die Differentialgleichung y‘(t) = 3. Mit y 0 = 1 200 mmhat diese Differentialgleichung die Lösung: y(t) = 3 t + 1 200, t ∈ ℝ 0 + Nach 20,5 Jahren hat der Stalagmit eine Höhe von y(20,5) = 3 · 20,5 + 1 200 = 1 261,5 mmerreicht. Ein Gärtner pflanzt einen Baum. Zu diesem Zeitpunkt ragt dieser einen Meter aus dem Boden heraus. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ist 10 cm/Jahr. a) Beschreibe die Höhenänderung des Baumes (in Metern m) durch eine Differentialgleichung, gib deren Lösung an und berechne die Höhe des Baumes nach 10,75 Jahren. b) Berechne, nach wie vielen Jahren der Baum eine Höhe von fünf Metern erreicht hat. Der Wirkstoff eines Medikaments wird vom Körper abgebaut, wobei y(t) die Wirkstoffmenge (in mg) im Körper t Stunden nach Einnahme des Medikaments beschreibt. Es gilt y‘(t) = − 0,1. a) Interpretiere die Gleichung y‘(t) = − 0,1im Kontext. b) Nach wie vielen Stunden ist ein Wirkstoff (y(0) = 150 mg) vom Körper abgebaut? 275 276 Merke Muster 277 278 Ó Arbeitsblatt Weitere Beispiele zu kont. lin. Wachstumsmodellen 5j7728 279 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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