96 Dynamische Systeme > Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 4 Löse die Differentialgleichung y‘(t) = − 2 y(t) mit P = (− 2|1 ). Durch Trennung der Variablen erhält man die allgemeine Lösung der Gleichung: dy _ dt = − 2 y ⇒ 1 _ y dy = − 2 · dt ⇒ ∫ 1 _ y dy = ∫ − 2 · dt ln(y) = − 2 t + c | e () y=e−2 t+c = e −2 t · e c = e −2 t · r Man setzt P = (− 2|1 ) ein und erhält einen reellen Wert für r: 1 = e−2·(−2) · r ⇒ 1 _ e 4 = r Die spezielle Lösung der Differentialgleichung lautet: y(t) = 1 _ e 4 · e −2 t Löse die Differentialgleichung mit der gegebenen Bedingung. a) y‘(t) = − y(t) y(3) = 1 d) y‘(t)= 1,5 y(t) P = (1|−1) b) y‘(t) = 5 y(t) y(− 1) = 2 e) y‘(t) = − 3,4 y(t) P = (− 3|−1) c) y‘(t) = 4 y(t) y(4) = 5 f) y‘(t)= 0,2 y(t) P = (− 4|5 ) Lösen der Differentialgleichung y'(t) = m · (W – y(t)) mit m, W * ℝ Differentialgleichungen dieser Art lassen sich mit der Methode der Trennung der Variablen lösen. Man setzt y‘(t) = dy _ dt und verwendet die vereinfachte Schreibweise y (t) = y: dy _ dt = m·(W − y) ⇒ | 1 _ W − y dy = m · dt ∫ 1 _ W − y dy = ∫m·dt | Lösen durch Substitution − ln(W − y) + c 1= m·t + c2 | − c 1 − ln(W − y) =m·t+c | ·(− 1); c 2 − c 1 = c ln(W − y) = − m · t − c | e () W − y = e −m·t−c = e −m· t · e −c = e −m· t ·r | r = e−c W − e −m·t · r = y y (t) = W − e −m· t ·r… allgemeine Lösung der Differentialgleichung Mit der Anfangsbedingung y0 = y(0) gilt: y 0 = W − e −m·0 · r = W − e 0 · r = W − r ⇒ y 0 − W = − r ⇒ r = W − y 0 Durch Einsetzen in die allgemeine Lösung erhält man die spezielle Lösung der Gleichung: y(t) = W − e −m·t · (W − y 0) = W − (W − y 0) · e −m·t Lösung der Differentialgleichung y‘(t) = m · (W − y(t)) Ist y‘(t) = m · (W − y(t)) eine Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0, m , W ≠ 0, dann lautet die Lösung: y (t) = W − (W − y 0) · e −m·t Löse die Differentialgleichung y‘(t) = 0,2 · (10 − y(t)) mit y(0) = 4schrittweise. Man formt die Gleichung um und trennt dadurch die Variablen. Danach wird integriert: dy _ dt = 0,2·(10 − y) ⇒ 1 _ 10 − y dy = 0,2 dt ⇒ ∫ 1 _ 10 − y dy = ∫0,2 dt ⇒ ln(10 − y) = − 0,2 t − c ⇒ 10 − y = e −0,2 t · e −c bzw. y = 10 − e −0,2 t · e −c = 10 − r · e −0,2 t Da y(0) = 4ist, gilt: 4 = 10 − r · e −0,2·0 ⇒ r = 6 D ie spezielle Lösung der Differentialgleichung lautet: y(t) = 10 − 6 · e −0,2 t Muster 272 273 Merke Muster 274 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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