95 Dynamische Systeme > Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Löse die Differentialgleichung mit der gegebenen Bedingung. a) y‘(t) = − 2 y (− 2) = 3 d) y‘(t) = 0,5 P = (1|1 ) b) y‘(t) = 6 y(4) = − 5 e) y‘(t)= 1,8 P = (5|−2) c) y‘(t) = 1 y(2) = 2 f) y‘(t) = − 2,4 P = (− 7|−1) Lösen von Differentialgleichungen Geogebra: LöseDgl[Gleichung, Anfangsbedingung] Beispiel: LöseDgl[y’ = 5, (0, –3)] ⇒ y = 5 x – 3 TI-Nspire: deSolve(Gleichung and Bedingung, t, y) Beispiel: deSolve(y’ = 5 and y(0) = –3, t, y) ⇒ y = 5 t – 3 Casio: dSolve(Gleichung, unabhängige Variable, abhängige Variable, Anfangsbedingung(en)) Beispiel: dSolve(y‘ = 5, t, y, y(0) = –3) Lösen der Differentialgleichung y'(t) = m · y(t) mit m * ℝ In dieser Art von Differentialgleichungen treten ein Vielfaches der Bestandsgröße y und deren Ableitung y ‘gemeinsam auf. Da y‘(t) = dy _ dt gilt, kann man die Differentialgleichung umschreiben: dy _ dt = m·y(t) bzw. dy _ dt = m · y(vereinfachte Schreibweise) Jetzt folgt die sogenannte Trennung der Variablen. Die Methode „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann Bernoulli zurück, der sie 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete. Beachte, dass es sich beim Ausdruck dy _ dt um keinen Bruch im eigentlichen Sinn handelt. Die Vorgangsweise, ihn dennoch so zu behandeln, führt aber zu einer Lösung der Differentialgleichung. dy _ dt = m · y |·dt ⇒ dy = m·y·dt |: y ⇒ 1 _ y dy = m · dt Man integriert nun auf beiden Seiten der Gleichung und erhält die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. Dabei ist zu beachten, dass auf der linken Seite der Gleichung eine andere Integrationsvariable auftritt als auf der rechten Seite: ∫ 1 _ y dy = ∫m·dt ⇒ ln(y) + c 1= m·t + c2 |− c 1 ln(y) = m·t + c2 − c 1 (c 2 − c 1 wird durch die reelle Zahl c ersetzt) ln(y)=m·t+c |e () y = y(t) = e m·t + c = e m·t · e c = e m·t · r ( e c wird durch r ersetzt) Mit der Anfangsbedingung y0 = y(0) bestimmt man durch Einsetzen den Wert der reellen Zahl r und somit die spezielle Lösung der Differentialgleichung: y(0) = e m·0 · r = r = y 0 ⇒ y=y0 · e m·t Lösung der Differentialgleichung y‘(t) = m · y(t) Ist y‘(t) = m · y(t) eine Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0, dann lautet die Lösung: y(t) = y 0 · e m·t Löse die Differentialgleichung schrittweise. a) y‘(t) = 2 y(t) y(0) = 1 d) y‘(t) = − 3 y(t) y(0) = − 1 b) y‘(t) = y(t) y(0) = − 4 e) y‘(t)= 0,2 y(t) y(0) = 1 c) y‘(t) = − y(t) y(0) = 3 f) y‘(t)= 0,1 y(t) y(0) = 0,2 Ó Technologie Anleitung Lösen von Differentialgleichungen 4w3r7x 270 Merke 271 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==