94 4.2 Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Lernziele: º Einfache Differentialgleichungen, insbesondere y ‘ = k · y, lösen können (AN-L 1.5) º Kontinuierliche lineare und exponentielle Wachstumsmodelle erkennen und anwenden können º Kontinuierliche beschränkte Wachstumsmodelle erkennen und anwenden können Um die diskreten Änderungsmodelle auf den kontinuierlichen Fall erweitern zu können, werden im Folgenden Differentialgleichungen und deren Lösungen besprochen. Lösen der Differentialgleichung y'(t) = m mit m * ℝ Kommt in einer Gleichung die Ableitung y ‘einer Bestandsgröße y vor, spricht man von einer Differentialgleichung. y wird als Lösung der Differentialgleichung bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass y eine Funktion darstellt. Wenn die Bestandsgröße von der Zeit abhängt (d.h. eine Funktion der Zeit ist), schreibt man y(t)bzw. y‘(t). Im Folgenden sollen die Lösungen von Differentialgleichungen der Art y‘(t) = mbestimmt werden. Die Lösung der Differentialgleichung y‘(t) = mkann durch eine unbestimmte Integration gefunden werden: y(t) = ∫ y‘(t)dt = ∫m·dt = m·t + c ⇒ allgemeine Lösung der Differentialgleichung y 0 = y(0) ist die Bestandsgröße zu Beginn der Beobachtung, die Anfangsbedingung. Mit der Anfangsbedingung kann ein Wert für c ∈ ℝ konkret bestimmt werden: y 0 = y(0) =m·0+c=c ⇒ y(t) = m·t + y0 ⇒ spezielle Lösung der Differentialgleichung Lösung der Differentialgleichung y‘(t) = m Ist y‘(t) = meine Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung y (0) = y 0, dann lautet die Lösung: y (t) = m·t + y0 Auch der Wert der Bestandsgröße y zu jedem anderen Zeitpunkt kann als Bedingung zum Auffinden der speziellen Lösung der Differentialgleichung verwendet werden. Löse die Differentialgleichung y‘(t) = − 4mit der Bedingung y (3) = 1bzw. P = (3|1 ). Dabei ist P ein Punkt auf dem Graphen der gesuchten Funktion y. Man bestimmt zuerst die allgemeine Lösung der Differentialgleichung durch Integrieren: y(t) = ∫ y‘(t)dt = ∫ − 4 · dt = − 4 · t + c Durch Einsetzen der gegebenen Bedingung erhält man den Wert für c: y(3) = − 4·3+c=1 ⇒ − 12+c=1 ⇒ c = 13 Die spezielle Lösung der Differentialgleichung lautet y(t) = − 4 t + 13. Löse die Differentialgleichung mit der gegebenen Anfangsbedingung. a) y‘(t) = 3 y(0) = 2 d) y‘(t) = − 9 y (0) = − 5 b) y‘(t) = − 11 y (0) = 4 e) y‘(t) = 7 y(0) = 0 c) y‘(t) = 10 y(0) = 7 f) y‘(t) = − 1 y (0) = 1 Kompetenzen Merke Muster 268 269 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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