93 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Eine Tasse Tee wird abgekühlt. Zu Beginn beträgt die Temperatur der Flüssigkeit 90°C. Die Umgebungstemperatur ist 20°C. y n gibt die Temperatur des Tees nach n Minuten an. Die Temperaturänderung erfolgt direkt proportional zur Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur des Tees und der Umgebungstemperatur. Der Proportionalitätsfaktor ist 4,5 %. Stelle für y n eine Differenzengleichung der Form yn + 1 − y n = k · (W − y n) auf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 = a·yn + b. Von einer Größe yn nach n Tagen mit y0 = 12ist bekannt, dass die absolute Änderung von yn und yn + 1 direkt proportional zu (50 − y n) ist. Der Proportionalitätsfaktor ist 2,5 %. Stelle eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + bauf. Gegeben ist eine lineare Differenzengleichung. Bestimme für die Bestandsgröße – wenn möglich – die Wachstumsgrenze W und gib die Gleichung in der Form yn + 1 − y n = k · (W − y n) an. a) y n + 1 = 0,5 · yn + 8, y0 = 4 e) y n + 1 = 0,9 · yn + 40, y0 = 35 b) y n + 1 = 0,34 · yn + 25, y0 = 100 f) y n + 1 = 0,05 · yn + 7 800, y0 = 14 c) y n + 1 = 0,2 · yn + 5, y0 = 8 g) y n + 1 = 0,8 · yn + 3, y0 = 30 d) y n + 1 = 1,3 · yn + 4, y0 = 5 h) y n + 1 = 0,4 · yn − 5, y 0 = 1 200 Für eine Bestandsgröße yn gilt der Zusammenhang yn + 1 − y n = k · (W − y n), W > 0, 0 < k < 1. W wird als Wachstumsgrenze, W − y n als Freiraum bezeichnet. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die Gleichung kann auf die Form y n + 1 = a·yn + bmit a > 1und b > 0gebracht werden. B Der Zuwachs pro Zeiteinheit ist direkt proportional zur Wachstumsgrenze. C Mit zunehmender Zeit wird der Zuwachs immer geringer. D Es liegt ein diskretes Wachstumsmodell vor. E Die Gleichung kann auf die Form y n + 1 = a·yn + bmit 0 < a < 1und b > 0gebracht werden. Eine Pflanzenkultur vermehrt sich auf der Wasseroberfläche. Für die durch die Pflanzenkultur belegte Fläche y n nach n Wochen (in dm2) gilt: y n + 1 = 0,99 · yn + 300, y0 = 1 Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die von der Pflanzenkultur belegte Fläche nimmt jede Woche ab. B Laut diesem Modell werden nicht mehr als 30000dm2 durch die Pflanzenkultur belegt sein. C Es liegt ein unbeschränktes Wachstum vor. D Je länger die Pflanzenkultur existiert, desto geringer ist ihr Zuwachs. E Die durch die Pflanzenkultur belegte Fläche nimmt exponentiell zu. 263 264 265 266 Ó Arbeitsblatt Weitere Maturaformate zu Differenzengleichungen cw6t8f 267 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==