92 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 4 Die Wachstumsgrenze − y n + 1 = a·yn + b, 0 < a < 1, b > 0 Wie in der Tabelle auf S. 91 gezeigt, gibt es für den Fall 0 < a < 1 und b > 0 eine Wachstumsgrenze W = b _ 1 − a. Mit den folgenden Umformungen kann man zeigen, dass bei derartigen Systemen die absolute Änderung zweier aufeinanderfolgender Zeiteinheiten direkt proportional zur Differenz W − y n (auch Freiraum genannt) ist. Der Freiraum gibt den Bereich an, in dem die Bestandsgröße noch wachsen kann. Es gilt: y n + 1 = a·yn + b | − y n ⇒ y n + 1 − y n = y n · (a − 1) + b = b − (1 − a) · y n Hebt man nun (1 − a) heraus, erhält man: y n + 1 − y n = (1 − a) · ( b _ 1 − a − y n) ⇒ y n + 1 − y n = (1 − a) · (W − y n) Diskretes beschränktes Modell Eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + b mit 0 < a < 1 und b > 0 kann auf y n + 1 − y n = k · (W − y n) mit W = b _ 1 − a und k = 1 − a umgeformt werden. Dabei wird W als Wachstumsgrenze und W − y nals Freiraum bezeichnet. Die absolute Änderung zweier aufeinanderfolgender Zeiteinheiten yn und yn + 1 ist direkt proportional zur Differenz W − y n. Die Ausdehnung einer Bakterienkultur wird täglich vermessen. In einer 8 0 cm2 großen Petrischale stellt man am ersten Tag eine Fläche von 2 cm2 fest. Die von den Bakterien eingenommene Fläche nimmt täglich um 20 % der noch freien Fläche der Petrischale zu. y n beschreibt die Ausdehnung der Bakterien in der Petrischale in c m 2 nach n Tagen. Stelle für yn eine Differenzengleichung der Form yn + 1 − y n = k · (W − y n) auf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 = a·yn + b. Durch die Fläche der Petrischale ist eine Wachstumsgrenze W = 80 cm2 gegeben. Der Proportionalitätsfaktor ist k = 20 % = 0,2. Für die Differenzengleichung gilt: y n + 1 − y n = 0,2 · (80 − y n) = 16 − 0,2 y n mit y0 = 2 cm 2 Durch Umformung erhält man die rekursive Darstellung y n + 1 = y n + 16 − 0,2 y n = 0,8 yn + 16 mit y 0 = 2 cm 2. Die Ausdehnung einer Bakterienkultur wird täglich vermessen. In einer 9 5 cm2 großen Petrischale stellt man am ersten Tag eine Fläche von 5 cm2 fest. Der von den Bakterien eingenommene Flächeninhalt nimmt täglich um 15 % des noch freien Flächeninhalts der Petrischale zu. yn beschreibt die Ausdehnung der Bakterien in der Petrischale in c m 2 nach n Tagen. Stelle für yn eine Differenzengleichung der Form yn + 1 − y n = k · (W − y n) auf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 = a·yn + b. Die Tierpopulation in einem bestimmten Gebiet besteht zu Beginn aus zehn Tieren. Man nimmt an, dass in diesem Gebiet nicht mehr als 1 000 Tiere dieser Art leben können. Jährlich wächst die Tierpopulation um 12 % des noch vorhandenen Freiraums. yn beschreibt die Anzahl der Tiere nach n Jahren. Stelle für yn eine Differenzengleichung der Form y n + 1 − y n = k · (W − y n)auf und bringe diese auf die Darstellung yn + 1 = a·yn + b. Merke Muster 260 261 Ó Arbeitsblatt Diskretes beschränktes Wachstum a2yw2q 262 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==