91 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Die Menge eines Bestandes nach n Zeiteinheiten wird mit yn bezeichnet. Die Veränderung des Bestandes ist durch eine lineare Differenzengleichung der Form yn + 1 = a·yn, y 0 = 2gegeben. a) Die Menge des Bestandes y kann auch durch eine Exponentialfunktion y mit y(x)= u·bx modelliert werden. Gib an, welche Zusammenhänge zwischen a, u, b und y 0bestehen. b) Welche Aussagen kann man für a > 1, 0 < a < 1machen? c) Stelle die Werte der Differenzengleichung y n + 1= 0,5 · yn, y 0 = 10in einem Koordinatensystem dar. Weitere diskrete Modelle – yn + 1 = a · yn + b, a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 Betrachtet man Modelle, die sich gemäß der Differenzengleichung y n + 1= a·yn + b, a > 0, b ≠ 0 verändern, so sind diese Modelle für a ≠ 1 weder exponentiell noch linear. Je nach Wahl der Parameter a und b können Aussagen über die Bestandsgröße getätigt werden. Die explizite Form der Differenzengleichung ist gegeben durch (siehe Anhang Beweise, Seite 283): y n = a n · y 0 + b · 1 − a n _ 1 − a Explizite Darstellung einer linearen Differenzengleichung Die explizite Form einer linearen Differenzengleichung y n + 1= a·yn + b mit dem Anfangswert y 0ist gegeben durch: y n = a n · y 0 + b · 1 − a n _ 1 − a , a ≠ 1 Wirkung der Parameter a und b Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über das Verhalten der Bestandsgröße in Abhängigkeit von den Parametern a und b. Verwende als graphische Unterstützung die nebenstehende Online-Ergänzung. 0 < a < 1 a > 1 b > 0 Lässt man n gegen unendlich gehen, so erhält man: lim n→∞ y n= lim n→∞ (a n y 0 + b · 1 − a n _ 1 − a ) = b _ 1 − a In diesem Fall gibt es eine Schranke, die nicht über- bzw. unterschritten wird. b _ 1 − a wird Wachstumsgrenze W genannt. Betrachtet man die explizite Form und lässt n gegen unendlich gehen, so wird y n immer größer. Es liegt unbeschränktes Wachstum vor. b < 0 Da beide Parameter eine Abnahme bewirken, wird die Größe y nab einem bestimmten n den Wert 0 annehmen. Hier sind drei Verhaltensmuster möglich: y 1 > y 0 ⇒ unbeschränktes Wachstum y 1 = y 0 ⇒ der Bestand verändert sich nicht y 1 < y 0 ⇒ y n wird ab einem bestimmten n den Wert 0 annehmen 1) Gib an, wie sich y n für größer werdende n verändert. 2) Bestimme die explizite Darstellung von y n. a) y n + 1= 0,5 · yn+ 3, y0 = 4 f) y n + 1= 0,4 · yn+ 3, y0 = 10 k) y n + 1= 12 · yn − 14, y0 = 38 b) y n + 1= 0,8 · yn+ 5, y0 = 100 g) y n + 1= 0,6 · yn − 14, y0 = 10 l) y n + 1= 0,5 · yn, y 0 = 1 c) y n + 1= 0,4 · yn − 20, y0 = 10 h) y n + 1= 2,9 · yn+ 25, y0 = 4 m) y n + 1= 2·yn+ 5, y0 = 8 d) y n + 1= 0,98 · yn − 35, y0 = 30 i) y n + 1= 3·yn − 5, y 0 = 5 n) y n + 1= 0,8 · yn − 10, y0 = 50 e) y n + 1= 1,5 · yn+ 14, y0 = 10 j) y n + 1= 5·yn − 120, y0 = 30 Ó Technologie Darstellung Exponentielle Modelle q87f6r 258 Merke Ó Technologie Darstellung Wirkung der Parameter s9k6r2 259 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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