90 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 4 Die Höhe y einer Pflanze nimmt in einem bestimmten Zeitraum um 3 % pro Woche zu. y n gibt die Höhe der Pflanze in cm nach n Wochen an. Für die Höhe der Pflanze zu Beginn der Beobachtung gilt y 0 = 8 cm. Ergänze den fehlenden Teil: y n + 1 − y n = Gegeben ist ein Vorgang, der sich durch eine Differenzengleichung beschreiben lässt. 1) Stelle für yn eine lineare Differenzengleichung der Form yn + 1 = a·yn + bauf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 − y n = T(y n). 2) Beschreibe yn in expliziter Form. a) Ein Kapital von 4 000 € wird auf einem mit 0,5 % p.a. verzinsten Sparbuch angelegt. y n beschreibt das Kapital nach einer Laufzeit von n Jahren. b) Ein Lichtstrahl, der ins Wasser fällt, wird pro Meter Wassertiefe um rund 10 % schwächer. y n beschreibt die Lichtstärke in einer Tiefe von n Metern, y 0 ist die Lichtstärke vor dem Eintritt des Lichtstrahls ins Wasser. c) Einem Patienten werden 15 mg eines Medikaments verabreicht. Jede Stunde nimmt die Wirkstoffmenge um 12 % ab. y n beschreibt die Wirkstoffmenge, die sich n Stunden nach der Verabreichung des Medikaments noch im Körper befindet. Für eine Bestandsgröße yn nach n Zeiteinheiten gilt der Zusammenhang yn + 1 − y n = y n · (u − 1). Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die Gleichung kann als lineare Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + b gedeutet werden. B Die Veränderung pro Zeiteinheit ist direkt proportional zum momentanen Bestand. C Ist u > 1, so wächst yn exponentiell. D Ist 0 < u < 1, so wird der Bestand immer größer. E Die absolute Änderung pro Zeiteinheit ist immer gleich. Für die Menge wn eines Wirkstoffs n Stunden nach der Einnahme gilt wn + 1 − w n = w n · (− 0,2), w 0 = 200 mg. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die Wirkstoffmenge im Körper nimmt zu. B Die Wirkstoffmenge im Körper nimmt um 20 Prozent pro Stunde ab. C Die Veränderung der Wirkstoffmenge pro Zeiteinheit ist direkt proportional zur momentanen Wirkstoffmenge. D Die Wirkstoffmenge im Körper ist ab einem gewissen Zeitraum negativ. E Je mehr Stunden vergangen sind, desto größer ist der Betrag der absoluten Änderung pro Zeiteinheit. 254 255 Ó Arbeitsblatt Exponentielle Modelle 8ds996 256 257 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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