9 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Das unbestimmte Integral Das Auffinden von Stammfunktionen wird unbestimmtes Integrieren genannt. Dazu führt man eine neue Schreibweise ein: ∫ f(x)dx. Ist F eine Stammfunktion von f, so schreibt man F(x) +c=∫f(x)dx (c ∈ ℝ). Die im Integral vorkommende Funktion f wird als Integrand bezeichnet, die unabhängige Variable x als Integrationsvariable. Das Integralzeichen ∫ erinnert an ein S wie Stammfunktion. Es wird in Kapitel 2 noch eine genauere Bedeutung erhalten. Der Ausdruck dx wird als Differential bezeichnet und zeigt, welche Variable die unabhängige Variable ist. Auch dies wird in Kapitel 2 klarer werden. Unbestimmtes Integral Ist f eine auf einem Intervall I definierte stetige Funktion und ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ f(x)dx = F(x) + c 1 Gilt für eine Funktion G G (x) + c 2 = ∫ f(x)dx, dann folgt: F(x) − G(x) = c c ∈ ℝ Das Integrieren ist (bis auf eine additive Integrationskonstante c ∈ ℝ) die Umkehrung zum Differenzieren. Anmerkung: Der Zusammenhang F(x) +c=∫f(x)dxwird manchmal durch F + c = ∫fabgekürzt. In der Tabelle werden nun einige Regeln für das Finden von Stammfunktionen (Integrieren) angegeben. Diese Regeln werden durch Differenzieren bewiesen. Integrationsregeln Funktion unbestimmtes Integral Beweis 1 f(x)= r(r ∈ ℝ) F(x) = ∫rdx = rx + c F‘(x) = r 2 f(x) = x r (r ∈ ℝ\{− 1}) F(x) = ∫xr dx = x r+1 _ r + 1 + c F‘(x) = (r + 1) x r _ r + 1 = x r 3 f(x) = x −1 F(x) = ∫x−1 dx = +ln(x) + c F‘(x) = x −1 4 f(x) = sin(x) F(x) = ∫sin(x)dx = − cos(x) + c F‘(x) = − (− sin(x)) = sin(x) 5 f(x) = cos(x) F(x) = ∫cos(x)dx = sin(x) + c F‘(x) = cos(x) 6 f(x) = e x F(x) = ∫ex dx = ex + c F‘(x) = e x 7 f(x) = a x (a ∈ ℝ +\{1}) F(x) = ∫ax dx = a x _ ln(a) + c F‘(x) = a x _ ln(a) · ln(a) = a x Berechnung eines unbestimmten Integrals einer Funktion f Geogebra: Integral(f,x) Beispiel: Integral(3 x + 5,x) 3/2 x2 + 5 x TI-Nspire: Integral(f,x) Beispiel: Integral(3 x + 5,x) 3 x2/2 + 5 x Casio: ∫(Term, Variable) Beispiel: ∫(3 x + 5,x) 3 x² _ 2 + 5 x a) Berechne: ∫ x3 _ 8 dx b) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 5. a) Durch Anwendung von Regel 2 erhält man: ∫ x3 _ 8 dx = x 11 _ 8 _ 11 _ 8 +c=8 · x 11 _ 8 _ 11 + c b) Eine Stammfunktion von f erhält man durch Integrieren: F (x) = ∫5dx = 5x + c Merke Technologie Ó Technologie Anleitung Das unbestimmte Integral p53h75 Muster 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==