89 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Gegeben ist ein Vorgang, der sich durch eine Differenzengleichung beschreiben lässt. 1) Gib für yneine lineare Differenzengleichung der Form yn + 1= a·yn+ ban. 2) Gib eine explizite Darstellung für y nan und berechne yn für n = 5; 8 und 12. a) Die Mieten für Wohnraum steigen jährlich um rund 3,5 %. Gegenwärtig zahlt jemand 780 € Miete. yn beschreibt die Höhe der Miete nach n Jahren. b) Das Holzvolumen eines Waldes wird gegenwärtig auf 50 000 m3 geschätzt. Der Holzbestand wächst jährlich um rund 2,5 %. yn gibt den Holzbestand nach n Jahren an. Kreuze jene Differenzengleichung(en) an, die mit gegebenem Anfangswert y 0= 20eine exponentielle Abnahme beschreibt (beschreiben). A B C D E y n + 1 = 2·yn y n + 1 = y n − 3 y n + 1 = 0,5 · yn y n + 1 = 0,2 · yn y n + 1 = y n + 5 Ergänze die Lücken so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1= a·yn + bbeschreibt genau dann eine exponentielle Zunahme, wenn (1) und (2) ist. (1) (2) a > 1 b > 0 0 < a < 1 b < 0 a < 0 b = 0 Bringt man eine Differenzengleichung der Form y n + 1= a·ynmit a > 0und y0auf die Form y n + 1 − y n = T(y n), erhält man: y n + 1= a·yn |− y n ⇒ y n + 1 − y n= a·yn − y n ⇒ y n + 1 − y n = y n · (a − 1) Dabei ist folgender Zusammenhang erkennbar: Diskretes exponentielles Modell – Eigenschaft Eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1= a·yn mit a ∈ ℝ+ \ {1} kann auf y n + 1 − y n = y n · (a − 1) umgeformt werden. Man erkennt, dass bei einem exponentiellen Modell die Differenz y n + 1 − y n direkt proportional zu y n ist. Dabei nennt man (a − 1) den Proportionalitätsfaktor. Ein Organismus wird von 300 Bakterien befallen, die sich stündlich um 20 % vermehren. y n gibt die Anzahl der Bakterien an, die sich n Stunden nach dem Bakterienbefall im Organismus befinden. a) Stelle für yn eine lineare Differenzengleichung der Form y n + 1= a·yn + b auf und bringe diese auf die Darstellung y n + 1 − y n = T(y n). b) Beschreibe die Anzahl der Bakterien im Organismus in expliziter Form. a) Es gilt y0 = 300. Da sich die Anzahl der Bakterien stündlich um 20 % vermehren, gilt: a = 1,2 ⇒ y n + 1= 1,2 · yn, y 0 = 300 Durch Subtraktion von y n, erhält man: yn + 1 − y n= 0,2 · ynmit y0 = 300 (Für den Proportionalitätsfaktor gilt: a − 1 = 1,2 − 1 = 0,2.) b) explizite Form: y n= 300 · 1,2 n 250 251 252 Merke Muster 253 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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