87 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Im Folgenden werden für die lineare Differenzengleichung y n + 1 = a·yn + bdrei Fälle betrachtet: – y n + 1 = y n + b (a = 1) – y n + 1 = a·yn (a > 0, a ≠ 1, b = 0) – y n + 1 = a·yn + b (a > 0, a ≠ 1, b beliebig) Diskretes lineares Modell – yn + 1 = yn + b Ist bei einer linearen Differenzengleichung a = 1, so erkennt man durch Umformung, dass die absolute Änderung pro Einheit konstant ist. Es gilt: y n + 1 − y n = b Diese Eigenschaft erinnert an lineare Funktionen. Deshalb spricht man in diesem Zusammenhang von einem linearen Modell. Die explizite Form von y erhält man durch: y 1 = y 0 + b, y2 = y 1 +b=y0 + 2 b, y3 = y 2 +b=y0 + 3 b, usw. ⇒ explizite Form: yn = y 0 + n · b Bei diesen Überlegungen ist zu beachten, dass eine Bestandsgröße y nicht zwangsläufig von der Zeit abhängig sein muss. Beschreibt y zum Beispiel die Kosten für eine bestimmte Obstsorte, ist y abhängig von der gekauften Obstmenge. Gibt y n die Kosten für n gekaufte Kilogramm dieser Obstsorte an, wird durch y n + 1 − y n = bder Kilopreis ausgedrückt. Diskretes lineares Modell Das lineare Modell ist durch die lineare Differenzengleichung y n + 1 = y n + bund den Anfangswert y 0 festgelegt. yn + 1 − y n = bbeschreibt die absolute Änderung des Bestandes zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten. Für die explizite Darstellung gilt: y n = y 0 + n · bmit n ∈ ℕ Ein in einer Höhle hängender Tropfstein ist 1,034 m lang und wächst jährlich um 2 mm. y n beschreibt die Länge des Tropfsteins nach n Jahren in Metern. a) Gib die Längenänderung des Tropfsteins von einem Jahr zum nächsten durch eine Differenzengleichung an. b) Beschreibe die Länge des Tropfsteins in expliziter Darstellung. a) Da der jährliche Längenzuwachs 2 mm = 0,002 mbeträgt, gilt y n + 1 − y n = 0,002, y0 = 1,034 m. b) Mit y0 = 1,034und b = 0,002ergibt sich yn = 1,034 + 0,002 n. Gegeben ist ein Vorgang, der sich durch eine Differenzengleichung beschreiben lässt. 1) Begründe, dass es sich bei diesem Vorgang um diskretes lineares Wachstum handelt. 2) Gib eine Differenzengleichung sowie eine explizite Darstellung von y an. a) Ein Leihwagen kostet 100 € Grundgebühr und pro gefahrenem Kilometer werden 0,50 € verrechnet. Dabei gibt yn den Gesamtpreis für n gefahrene Kilometer an. b) Dino nimmt sich vor, wöchentlich 15 € seines Taschengeldes zu sparen. Dabei gibt y n den angesparten Betrag nach n Wochen an. c) Von einem Konto mit 2 300 € Guthaben werden monatlich k Euro abgebucht. Dabei beschreibt yn den Kontostand nach n Monaten. d) Ein 1,2 cm langer Fingernagel wächst wöchentlich um 0,7mm. Dabei beschreibt y n die Länge des Fingernagels in Millimeter (mm) nach n Wochen. Merke Muster 243 244 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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