86 Dynamische Systeme > Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 4 Stelle eine Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + bauf und bringe diese auf die Darstellung yn + 1 − y n = T(y n). a) Der Betrag (in €) in einem Sparschwein nach n Tagen wird mit y n bezeichnet. Jeden Tag werden 5 Cent in dieses Sparschwein geworfen. Am Beginn ist das Sparschwein leer. b) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr kommen 1 % Zinsen dazu. Am Beginn sind 500 € auf dem Konto. c) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren ist y n. Jedes Jahr kommen 0,5 % Zinsen dazu und es werden 200 € einbezahlt. Am Beginn sind 500 € auf dem Konto. a) Da jeden Tag 5 Cent in das Sparschwein kommen, erhält man y n + 1, indem man zu yn 5 Cent addiert. Es gilt daher: y n + 1 = y n + 0,05, y0 = 0 €. Durch Umformung erhält man: y n + 1 − y n = 0,05, y0 = 0 € b) Da man jedes Jahr 1 % Zinsen bekommt, erhält man y n + 1, indem man yn mit 1,01 multipliziert. Es gilt daher: yn + 1 = 1,01 · yn, y 0 = 500 €. Um auf die Form y n + 1 − y n = T(y n) zu kommen, sind Umformungen notwendig. y n + 1 = 1,01 · yn |− y n ⇒ y n + 1 − y n = 1,01 · yn − y n ⇒ y n + 1 − y n = 0,01 · yn c) Da man jedes Jahr 0,5 % Zinsen bekommt, erhält man y n + 1, indem man yn mit 1,005 multipliziert. Da aber auch 200 € einbezahlt werden, gilt: y n + 1 = 1,005 · yn + 200, y0 = 500 €. Um auf die Form y n + 1 − y n = T(y n) zu kommen, sind Umformungen notwendig. y n + 1 = 1,005 · yn + 200 |− y n y n + 1 − y n = 1,005 · yn − y n + 200 ⇒ y n + 1 − y n = 0,005 · yn + 200 Stelle eine Differenzengleichung der Form y n + 1 = a·yn + bauf und bringe diese auf die Darstellung yn + 1 − y n = T(y n). Gib weiters die Werte der Parameter a und b an. a) Der Betrag (in €) in einem Sparschwein nach n Tagen wird mit y n bezeichnet. Jeden Tag werden 2 € aus diesem Sparschwein genommen. Am Beginn sind 50€ im Sparschwein. b) Die Länge eines Haares nach n Monaten wird mit y n bezeichnet. Das Haar wächst in einem Monat 0,9 cm. Am Beginn der Beobachtung ist das Haar 0,5 cm lang. c) Die Anzahl der Einwohner einer Stadt nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr vergrößert sich die Bevölkerung in dieser Stadt um 315 Personen. Am Beginn der Beobachtung waren 9315 Personen in dieser Stadt. d) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr kommen 0,8 % Zinsen dazu. Am Beginn sind 1 500 € auf dem Konto. e) Die Anzahl der Einwohner einer Stadt nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr vergrößert sich die Bevölkerung in dieser Stadt um 2,3 Prozent. Am Beginn der Beobachtung waren 17215 Personen in dieser Stadt. f) Der Wert einer Maschine nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr verliert die Maschine 12 % ihres Wertes. Der Neuwert der Maschine war 39 800 €. g) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr kommen 0,8 % Zinsen dazu. Weiters werden jedes Jahr 50 € abgehoben. Am Beginn sind 5 000 € auf dem Konto. h) Der Bestand eines Waldes (in m3) nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Am Beginn waren 13 4000 m3 Wald vorhanden. Der Holzbestand nimmt jährlich um 2 Prozent zu. Außerdem werden am Anfang jedes Jahres 800 m 3 Wald geschlägert. Muster 241 242 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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