85 4.1 Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Lernziele: º Diskrete lineare und exponentielle Wachstumsmodelle erkennen und anwenden können º Diskrete beschränkte Wachstumsmodelle erkennen und anwenden können º Lineare Differenzengleichungen aufstellen und lösen können Lineare Differenzengleichungen Wird die Änderung einer Bestandsgröße y z.B. jede ganze Sekunde, jede ganze Minute, jede ganze Stunde usw. betrachtet, spricht man von einem diskreten Wachstums- bzw. Abnahmemodell (diskreten dynamischen System). Dabei beschreibt y0 den Bestand zu Beginn der Beobachtung, y1 den Bestand nach einer Zeiteinheit usw. Diese Vorgänge werden oft mit Differenzengleichungen beschrieben. (Wird die Änderung der Bestandsgröße hingegen zu jeder beliebigen (reellen) Zeit zugelassen, handelt es sich um ein kontinuierliches Wachstums- oder Abnahmemodell, das in 4.2 genauer betrachtet wird.) Lineare Differenzengleichung Bezeichnet yn den Bestand einer Größe nach n Zeiteinheiten und ist y 0gegeben, dann nennt man eine Gleichung der Form y n + 1= a·yn + b(a ≠ 0) eine lineare Differenzengleichung. Anmerkungen – Man nennt die Darstellung y n + 1= a·yn + bauch rekursive Darstellung der Folge y n (vgl. Lösungswege 6). Die Angabe einer Anfangsbedingung (z.B. y 0) ist unbedingt notwendig. – Der Name „Differenzengleichung“ kommt daher, dass man y n + 1= a·yn + bauf die Form y n + 1 − y n = T(y n)bringen kann, wobei T(y n)ein Term in Abhängigkeit von yn ist. – Es ist eine lineare Differenzengleichung, da y n + 1von yn nur linear abhängt. Dies bedeutet nicht, dass es sich hierbei um eine lineare Zu- oder Abnahme handeln muss. – Die explizite Darstellung von y wird Lösung der Differenzengleichung genannt. – Auf den folgenden Seiten wird angenommen, dass y nkeine negativen Werte annimmt. Die Tabelle enthält Werte einer Größe zum Zeitpunkt n (n ∈ ℕ). Die zeitliche Entwicklung kann durch eine Differenzengleichung der Form y n + 1= a·yn + bbeschrieben werden. Bestimme die Werte der beiden reellen Parameter a und b. a) n 0 1 2 3 4 y n 13 23 43 83 163 b) n 2 3 6 7 y n 8139,5 32555,5 2083499,5 8333995,5 Tipp: Stelle evtl. ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auf und löse dieses. Kompetenzen Merke 240 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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