Reflexion 82 Axiome Auf diesen zwei Seiten geht es um die Fundamente der Mathematik. Und es geht darum, warum man sich in der Mathematik so sicher sein kann, dass die Erkenntnisse auch richtig sind. Zum Einstieg die folgende bekannte Erkenntnis: „Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.“ Man bezeichnet eine solche Erkenntnis als mathematischen Satz. In nebenstehender Abbildung sieht man, dass man aus diesem Satz andere Sätze ableiten kann. Zum Beispiel: – „Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 360°.“ – „Die Winkelsumme in einem Fünfeck beträgt 540°.“ Wenn der Satz von der Winkelsumme im Dreieck richtig ist, dann sind auch die anderen beiden davon abgeleiteten Sätze richtig. Aber Vorsicht: Was gibt uns die Sicherheit, dass der Satz von der Winkelsumme im Dreieck wirklich stimmt? Das Nachmessen der Winkel in einem Dreieck wäre nicht sehr überzeugend, denn erstens kann man nicht alle Dreiecke (im ganzen Universum) vermessen und zweitens wäre die Winkelmessung an einem konkreten Dreieck nie mit Sicherheit ganz genau. Man benötigt also eine grundlegendere mathematische Erkenntnis – einen Satz –, von der man behaupten kann, dass sie wahr ist und aus der man auf den Satz von der Winkelsumme im Dreieck schließen kann. Diesen Satz gibt es. Er heißt Parallelwinkelsatz und ist in nebenstehender Abbildung veranschaulicht. Der Satz besagt vereinfacht, dass eine Gerade zwei parallele Geraden unter gleichen Winkeln (α, β) schneidet. Wenn also der Parallelwinkelsatz gilt, dann beträgt die Winkelsumme in jedem Dreieck 180° und daher die Winkelsumme in jedem Viereck 540°. Aber Vorsicht: Was gibt uns die Sicherheit, dass der Parallelwinkelsatz wirklich stimmt? α α β β β γ Parallelwinkelsatz Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360°. 180° 180° 180° 180° 180° Die Winkelsumme im Fünfeck beträgt 540°. α α β Warum? Warum? Warum? Das ist einfach so! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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