8 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral 1 Stammfunktionen Es sind f und F, zwei beliebige Funktionen mit derselben Definitionsmenge D, gegeben. Man nennt F Stammfunktion von f, wenn gilt: F ‘(x) = f(x) für alle x ∈ D Ist die Definitionsmenge D von f ein Intervall (D kann auch ganz ℝ sein) und sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann unterscheiden sich F und G nur durch eine reelle Konstante c. Es gilt: F(x) − G(x) = c Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = − 3 x 3 + 6·e3 x. Welche der gegebenen Funktionen F 1 bis F 4 sind Stammfunktionen von f? F 1(x) = − 3 x 4 _ 4 + 2·e 3 x + 3 F 3(x) = − 3 x 4 _ 4 + 2·e 3 x − 12 F 2(x) = − 3 x 4 _ 4 + 2·e 3 x + 5 F 4(x) = − 3 x 3 + 2·e3 x + 3 Differenziert man die Funktionen F 1 bis F3 erhält man die Funktion f. F1, F 2 und F3 sind daher Stammfunktionen von f und unterscheiden sich nur durch eine reelle Konstante. Ordne jeder Funktion f eine passende Stammfunktion F zu. a) 1 f(x) = − 3 x 2 + 5 A F(x) = 0 2 f(x) = − 2 x + 3 B F(x) = − x 3 + 5 x − 1 3 f(x) = − 5 C F(x) = − x 2 + 3 x + 111 4 f(x) = 2 x − 9 D F(x) = x 2 − 9x + 2,5 E F(x) = − 5 x F F(x) = − 6 x b) 1 f(x) = − 12 x 2 A F(x) = − 4 x 3 + 3 2 f(x) = − 2 B F(x) = e −3 x + 4 3 f(x) = − 3 e −3 x C F(x) = x 3 _ 3 + 3 x 2 _ 2 + 5 4 f(x) = x 2 + 3 x D F(x) = − 3 e −3 x + 2 E F(x) = 2 x + 3 F F(x) = − 2 x − 12 Bestimme durch „Ausprobieren“ eine Stammfunktion von f. a) f(x) = 7 c) f(x) = − 4 x e) f(x) = − 3 x 2 g) f(x) = e 4 x b) f(x) = − 12 d) f(x) = 12 x f) f(x) = − 12 x 2 h) f(x) = e −7 x Gegeben sind zwei Funktionen f und g. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Ist f eine Stammfunktion von g, dann gilt g ‘ = f. B Gilt f‘ = g, dann ist f eine Stammfunktion von g. C Ist f eine Stammfunktion von g, dann ist auch f + c(c ∈ ℝ) eine Stammfunktion von g. D Ist f eine Stammfunktion von g, dann ist f auch eine Stammfunktion von g + c(c ∈ ℝ). E Jede Stammfunktion einer konstanten Funktion f (f(x) ≠ 0) ist eine quadratische Funktion. Merke Ó Vertiefung Stammfunktionen mv2z5t Muster 4 tAN-R 4.2 M1 5 t 6 AN-R 3.1 M1 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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