76 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Anwendungen aus der Wirtschaft 3 Gewinnfunktion und Grenzgewinnfunktion Gegeben ist die Kostenfunktion K mit K (x) = 0,5 x3 − x 2 + x + 15. Der Verkaufspreis pro Mengeneinheit beträgt p = 12 GE. a) Stelle die Gewinnfunktion G auf und berechne den Grenzgewinn G ‘(3). Deute G‘(3) geometrisch bzw. im Kontext. b) Berechne das Integral : 1 3 G‘(x)dxund interpretiere es geometrisch und im Kontext. a) Für die Erlösfunktion E gilt: E (x) = 12 x, für die Gewinnfunktion G gilt: G(x) = E(x) − K(x) = 12 x − 0,5 x 3 + x 2 − x − 15 = − 0,5 x 3 + x 2 + 11 x − 15 Für den Grenzgewinn G ‘gilt: G‘(x) = − 1,5 x 2 + 2 x + 11, d.h. G‘(3) = 3,5 GE/ME Geometrisch gibt G ‘(3) die Steigung der Tangente an G an der Stelle x = 3 an, im Kontext (näherungsweise) den für eine zusätzlich abgesetzte Mengeneinheit zu erwartenden Gewinnzuwachs. b) : 1 3 G‘(x)dx = : 1 3 (− 1,5 x 2 + 2 x + 11)dx = 17 GE. Geometrisch gibt der Wert des Integrals den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von G ‘und der waagrechten Achse an. Da G eine Stammfunktion von G ‘ist, beschreibt der Wert des Integrals die Änderung des Gesamtgewinns bei einer Zunahme der Produktionsmenge von 1 ME auf 3 ME, d.h. G (3) − G(1) = 17 GE. Gegeben ist die Kostenfunktion K. Der Verkaufspreis pro Mengeneinheit beträgt p GE. 1) Stelle die Gewinnfunktion G auf, berechne den Grenzgewinn G ‘(a) und deute G‘(a) geometrisch und im Kontext. 2) Berechne und interpretiere das gegebene Integral geometrisch und im Kontext. a) K(x) = 0,4 x3 − 1,2 x 2 + 1,3 x + 12; p = 15; a = 2; : 1 4 G‘(x)dx b) K(x) = 0,3 x3 − 1,1 x 2 + 1,4 x + 17; p = 20; a = 4; : 0 3 G‘(x)dx c) K(x) = 0,2 x3 − 0,75 x2 + 1,4 x + 21; p = 17; a = 6; : 3 6 G‘(x)dx Die Funktionsgraphen stellen den Grenzgewinn G ‘dar. Kreuze die beiden Graphen an, bei welchen durch eine Erhöhung der abgesetzten Menge von a ME auf b ME eine positive Gewinnänderung beschrieben wird. A a = 3; b = 5 x G’(x) G’ 1 2 3 4 2 4 –4 –2 0 C a = 1; b = 5 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 –20 –15 –10 –5 0 E a = 1; b = 3 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 2 4 –4 –2 0 B a = 3; b = 5 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 –20 –15 –10 –5 0 D a = 2; b = 4 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 –20 –15 –10 –5 0 Muster 219 x G’(x) G’ 1 2 3 4 2 4 6 8 10 12 14 0 220 AN-R 4.3 M1 221 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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