75 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Anwendungen aus der Wirtschaft Kostenfunktion und Grenzkostenfunktion Gegeben ist die Grenzkostenfunktion K ‘mit K‘(x)= 0,03 x2 − 6 x + 350. a) Bestimme den Wert K ‘(50) und deute ihn im Kontext. b) Berechne den Wert des Integrals : 50 100 K‘(x)dxund deute ihn geometrisch und im gegebenen Kontext. a) Nach Einsetzen von x = 50in K‘(x) erhält man den Wert der Grenzkostenfunktion bei dieser Produktionsmenge: K‘(50)= 0,03 · 502 − 6 · 50 + 350 = 125 GE/ME. Wird die Produktion von 50 ME auf 51 ME erhöht, steigen die Gesamtkosten näherungsweise um 125 GE. b) Für den Wert des Integrals gilt: : 50 100 K‘(x)dx = : 50 100 (0,03 x 2 − 6 x + 350)dx = 3750 GE Geometrisch entspricht dieser Wert dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion K ‘und der waagrechten Achse im Intervall [50; 100]. Da K eine Stammfunktion von K ‘ist, gibt dieser Wert die Änderung der Gesamtkosten an, wenn die Produktion von 50 ME auf 100 ME erhöht wird. Gegeben ist die Grenzkostenfunktion K ‘. Berechne den Wert des Integrals und deute ihn im gegebenen Kontext. (K in GE, x in ME) a) K‘(x) = 2 x + 3,5; : 3 5 K‘(x)d x c) K‘(x)= 1,5 x2 − 3 x + 2; : 2 4 K‘(x)d x b) K‘(x) = 4 x + 7; : 0 3 K‘(x)d x d) K‘(x)= 2,4 x2 − 4 x + 3,5; : 1 3 K‘(x)dx Gegeben ist die Grenzkostenfunktion K ‘(K‘(x) > 0für alle x). Deute den gegebenen Term geometrisch und im Kontext. a) K‘(5) b) : 0 20 K‘(x)dx c) K‘(a) d) : a b K‘(x)d x Gegeben sind die Kostenfunktion K sowie die dazugehörige Grenzkostenfunktion K ‘. Kreuze die beiden Terme an, die die absolute Kostenänderung beschreiben, wenn die Produktion von a ME auf (a + 1) MEerhöht wird. A B C D E : 0 a K‘(x)d x K(a + 1) − K(a) K(a + 1) K‘(a) : a a+1 K‘(x)d x Gegeben ist der Graph der Grenzkostenfunktion K ‘. Deute den im gegebenen Intervall eingezeichneten Flächeninhalt im Kontext. a) x K’(x) 1 2 3 4 5 10 15 0 K’ b) x K’(x) 1 2 3 4 5 10 15 0 K’ Muster 214 x K’(x) K’ 20 40 60 80 100 120 100 200 300 400 500 0 215 216 AN-R 4.3 M1 217 AN-R 4.3 M1 218 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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