73 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Naturwissenschaftliche Anwendungen Aus der allgemeinen Beziehung ∫ f(x)dx = F(x) + czwischen der Stammfunktion F und einer Funktion f folgt für den Luftdruck p und die Änderungsrate p ‘die Beziehung ∫ p‘(x)dx = p(x) + c, wobei p eine Stammfunktion von p ‘ist. Der Ausdruck : 100 500 p‘(x)dx = p(500) − p(100) kann daher als die gesamte Luftdruckänderung bei einer Höhenänderung von 100 m auf 500 m interpretiert werden. Integral einer momentanen Änderungsrate Ist f‘(x) = df _ dx die momentane Änderungsrate der Größe f, so bedeutet der Ausdruck : a b f‘(x)dx = f(b) − f(a) die Änderung der Größe f im Intervall [a; b]. Die Änderungsrate des Luftdrucks p (in Pascal Pa) mit der Höhe h (in Metern m über dem Meeresspiegel) kann durch folgende Funktion beschrieben werden: p ‘(h) = − 0,125 · e− 1 _ 7991h. Bestimme die Änderung des Luftdrucks bei einer Höhenänderung von 1 km auf 2 km. : 1 000 2 000 − 0,125 · e− 1 _ 7 991h dh ≈ − 104 Die Luftdruckänderung beträgt ca. − 104 Pa. Der Luftdruck nimmt um ca. 104 Pa ab. N(t) gibt die Anzahl von Bakterien nach t Minuten an. Die momentane Änderungsrate N ‘(t) kann durch die Funktion N ‘(t) = 1 000 + 200 tbeschrieben werden. a) Berechne die Bakterienzunahme in der zehnten und der elften Minute. b) Nach drei Minuten gibt es 10 000 Bakterien. Bestimme die Anzahl der Bakterien nach fünf Minuten. Die durch einen Leiter fließende Ladung Q (t) (in Coulomb C) ist abhängig von der Zeit t (in Sekunden s). Die Änderungsrate von Q (t) bezeichnet man als elektrische Stromstärke I(t) (in Ampere A). Für I(t)gilt: I(t) = − 0,5 t 2 + 2 a) Drücke den Zusammenhang zwischen Q und I in Form einer Gleichung aus. b) Bestimme die Ladungsmenge, die in den ersten 1,5 Sekunden durch den Leiter fließt. c) Zeichne den Graphen von I(t) und Q(t) in ein Koordinatensystem (t ∈ [0; 2]), wenn Q(0) = 0ist. h(t) bezeichnet die Höhe eines Baumes in Zentimeter nach t Jahren. In der Abbildung sieht man den Graphen der momentanen Änderungsrate der Baumhöhe. Zeichne die Höhenänderung des Baumes innerhalb der ersten fünf Jahre in die Abbildung ein. Die Wachstumsgeschwindigkeit v eines Pilzes beträgt konstant 3,5 cm2 pro Stunde. Zur Zeit t = 0 h bedeckt der Pilz eine Fläche A von 5 cm2. A(t) bezeichnet den Inhalt der vom Pilz bedeckten Fläche nach t Stunden. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A B C D E : 0 t v(t)dt = A(t) : 0 t v(t)dt = 3,5 : 1 2 v(t)dt = 3,5 dA(t) _ dt = 5 A(t) = 3,5 t + A(0); A(0) = 5 Merke Muster 207 208 209 AN-R 4.3 M1 210 t h’(t) in cm/Jahr 0 1 2 3 4 5 h’ Ó Arbeitsblatt Momentane Änderungsrate k5r43r AN-R 4.3 M1 211 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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