72 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Naturwissenschaftliche Anwendungen 3 Zusammenhang zwischen Leistung und Arbeit Die Arbeit W (in Joule J) kann auch als Produkt von Leistung P (in Watt W) und benötigter Zeit ∆t(in Sekunden s) berechnet werden: W = P · ∆t Ist die Leistung von der Zeit t abhängig (P = P(t)), so berechnet man die Arbeit mit Hilfe eines Integrals. Die Arbeit Wird vom Zeitpunkt t1 bis zum Zeitpunkt t2 die mit der Zeit veränderliche Leistung P (t) erbracht (P(t) > 0im Intervall [t 1; t 2]), so wird dabei die Arbeit W[t 1; t 2] verrichtet. W[t 1; t 2] = : t 1 t 2 P(t)dt Die Arbeit ist das Integral der Leistung nach der Zeit. Die Leistung P (t) einer Maschine steigt innerhalb einer Stunde linear von 0,5 W auf 2 W an. Bestimme die Arbeit W in kJ, die in dieser Zeit von der Maschine verrichtet wird. Da P(t) linear ansteigt, gilt: P (t) = k · t + d k = 2 − 0,5 _ 3600 = 0,000417; d = P(0) = 0,5 ⇒ P(t) = 0,000417t + 0,5 W = : 0 3600 (0,000417t + 0,5)dt = 4502,16 Es wird die Arbeit 4,5 kJ verrichtet. Die Leistung P (t) einer Hebevorrichtung steigt innerhalb der Zeit t 1) linear 2) exponentiell von a Watt auf b Watt an. Berechne die Arbeit W in kJ, die in dieser Zeit von der Hebevorrichtung verrichtet wird. a) a = 10; b = 100; t = 20 min c) a = 20; b = 200; t = 2 h b) a = 50; b = 100; t = 20 s d) a = 2; b = 3; t = 1 min Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion, welche die Leistung L einer dimmbaren Lampe beschreibt. Erkläre die Bedeutung des Wertes des eingezeichneten Flächeninhalts. Integral einer momentanen Änderungsrate In Lösungswege 7 wurde der Wert der ersten Ableitung an der Stelle x einer physikalischen Größe f als momentane Änderungsrate dieser Größe an der Stelle x bezeichnet. Wenn zum Beispiel p (h) den Luftdruck (in Pascal Pa) in der Höhe h (in Meter m) bezeichnet, so bezeichnet p ‘(h) die momentane Änderungsrate des Luftdrucks in der Höhe h. In der Leibniz’schen Schreibweise gilt p ‘(h) = dp _ dh. Merke Muster 204 205 AN-R 4.3 M1 206 Zeit in Sekunden (s) Leistung in Watt (W) 123456789101112 10 20 30 40 50 60 0 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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