70 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Naturwissenschaftliche Anwendungen 3 Zieht man eine Spiralfeder auseinander, so ist in einem bestimmten Bereich die dafür benötigte Kraft F (in Newton N) direkt proportional zur Ausdehnung x (in Meter m) aus der Ruhelage der Feder. F (die Federkraft) kann im Definitionsbereich [0; 0,5] durch die Funktionsgleichung F(x) = 5·x(Federgleichung) beschrieben werden. a) Bestimme die Arbeit, die man benötigt, um die Feder von einer Ausdehnung von 20 cm auf 40 cm zu bringen. b) Die an der Feder verrichtete Arbeit wird als Energie E in der Feder gespeichert. Die Feder wurde um 50 cm aus der Ruhelage ausgedehnt. Bestimme die in ihr gespeicherte Energie. c) Zeichne die Arbeit, die man benötigt, um eine Feder von einer Ausdehnung von 20 cm auf 40 cm zu bringen, in ein F-x-Diagramm ein. d) Bestimme allgemein die Arbeit, die man verrichtet, wenn man eine Feder mit der Federkraft F(x) = k · x(k ∈ ℝ +) um a Meter aus der Ruhelage ausdehnt. a) W[0,2; 0,4] = : 0,2 0,4 5xdx = 5 x 2 _ 2 | 0,2 0,4 = 0,3. Die Arbeit beträgt 0,3 J. b) E = W[0; 0,5] = : 0 0,5 5 xdx = 5 x 2 _ 2 | 0 0,5 = 0,625. Die Energie beträgt 0,625 J. c) x F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 1 1,5 2 0 F(x) = 5 x W = 0,3 J d) W[0; a] = : 0 a kxdx = k · x 2 _ 2 | 0 a = 1 _ 2 k a 2. Die Energie beträgt 1 _ 2 ka 2 J. Die Federgleichung beschreibt die Kraft in Newton, die benötigt wird, um eine Spiralfeder aus der Ruhelage um x Meter auszudehnen. Bestimme die Arbeit W (in Joule J), die benötigt wird, um eine Spiralfeder von der Ausdehnung a auf die Ausdehnung b zu bringen, und stelle den Wert von W in einem passenden F-x-Diagramm dar. a) F(x) = 3 x; a = 0,4; b = 0,6 b) F(x) = x; a = 0; b = 0,7 c) F(x) = 0,1 x; a = 0,25; b = 0,5 Um eine Stahlfeder aus der Ruhelage x = 0 cmum x cm zu dehnen, ist die Kraft F(x) erforderlich. Interpretiere den Ausdruck : 2 5 F(x)dxim Kontext. Mit F(x) (in Newton N) wird die Kraft F beschrieben, die auf einen Körper an der Stelle x (in Meter m) wirkt. Ein Körper wird durch diese Kraft von der Stelle m zur Stelle n bewegt. Bestimme die dafür notwendige Arbeit W und zeichne den Wert von W in ein geeignetes F-x-Diagramm ein. a) F(x) = x 2; m = 2; n = 3 b) F(x) = 2 _ x 2; m = 1; n = 4 c) F(x) = sin(x); m = 0,5; n = 1 Muster 196 Ausdehnung x 197 AN-R 4.3 M1 198 199 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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