7 1.1 Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Lernziele: º Den Begriff „Stammfunktion“ definieren und anwenden können º Eine Stammfunktion (das unbestimmte Integral) von verschiedenen Funktionen berechnen können º Zusammenhänge zwischen Differenzieren und Integrieren kennen º Einfache Regeln der Integralrechnung anwenden können º f(x) = cos(kx), f(x) = sin(kx), f(x) = e kxintegrieren können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.1 D en Begriff „Ableitungsfunktion/Stammfunktion“ kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 4.2 E infache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für ∫ k · f(x)dxund ∫ f(k · x)dx; bestimmtes Integral von Polynomfunktionen ermitteln können Bilde die erste Ableitung der Funktion f. a) f(x) = 4 c) f(x) = sin(3 x) e) f(x) = − 4 x 3 g) f(x) = e −4 x b) f(x) = 4 x d) f(x) = cos(5 x) f) f(x) = − x 5+ 4 x3 − 12 h) f(x) = − 5 e −3 x Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s eines Körpers zum Zeitpunkt t (s in Meter, t in Sekunden). Bestimme die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v und die Zeit-Beschleunigungsfunktion a. a) s(t) = 12 t b) s(t) = − 5 t 2 c) s(t)=120 +12t + 5t2 Gib jeweils ein Beispiel für die angegebene Regel an (k ∈ ℝ\{0}). a) (f(x) + g(x))‘ = f‘(x) + g‘(x) b) (k · f(x))‘ = k · f‘(x) c) f(k · x)‘ = k · f‘(k · x) Stammfunktionen In Lösungswege 7 wurden die ersten Ableitungen von Funktionen gebildet. Diesen Vorgang nennt man Differenzieren. Betrachtet man nun eine Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = t 2 + 2 t + 1 (s in Meter, t in Sekunden), so wird durch Differenzieren die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v ermittelt: v(t) = s‘(t) = 2 t + 2 In der Praxis lässt sich v oft leichter angeben. Wie kann man allerdings nur durch Kenntnis von v wieder die Funktion s bestimmen? Man sucht eine Funktion s, deren Ableitung v ergibt. Die Funktion s wird dann Stammfunktion von v genannt. Durch Ausprobieren erhält man für die Funktion s z.B. folgende Möglichkeiten: s 1(t) = t 2+ 2t s 2(t) = t 2+2t+3 s 3(t) = t 2 + 2 t + 12 Man findet daher unendlich viele Stammfunktionen, da ein konstantes Glied beim Differenzieren „wegfällt“ und man dieses ohne Zusatzinformationen nicht bestimmen kann. Eine Stammfunktion s kann man in diesem Fall auf folgende Art anschreiben: s(t) = t 2 + 2 t + c(c ∈ ℝ) Kompetenzen 1 2 3 Vorwissen t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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