Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

69 3.3 Naturwissenschaftliche Anwendungen Lernziele: º Die Arbeit mit Hilfe von Integralen beschreiben können º Arbeit in verschiedenen naturwissenschaftlichen Anwendungsaufgaben berechnen können º Die Änderung einer physikalischen Größe durch Integration der Änderungsrate berechnen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung AN-R 4.3 D as bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können Viele Größen in den Naturwissenschaften lassen sich durch ein Produkt aus anderen Größen berechnen. Zusammenhang zwischen Kraft und Arbeit Zieht man einen Körper mit einer konstanten Kraft F (in Newton N) entlang einer ∆​ s​Meter langen Strecke, so berechnet man die dafür benötigte Arbeit W (in Joule J) als Produkt aus Kraft F und zurückgelegtem Weg ∆​ s​: ​W = F·∆s​ Da die Größen F und s im Allgemeinen Vektoren sind, gilt diese Formel nur, wenn F und s gleiche Richtung haben, wenn man also genau in Bewegungsrichtung zieht. Man kann diesen Vorgang auch graphisch in einem Koordinatensystem mit den Achsen s und F veranschaulichen. Die Arbeit W entspricht dann dem Inhalt der Fläche unter dem Graphen von F. Komplizierter wird die Berechnung, wenn die Kraft nicht konstant ist, sondern sich in Abhängigkeit vom Ort s verändert (F​ = F​(s)​). Die Multiplikation ​W = F​(s) ​· ∆s​ist jetzt nicht mehr so einfach durchzuführen, da sich F​ ​(s)​ entlang des Weges ∆​ s​verändert. Wie schon bei einer konstanten Kraft, entspricht der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von F und der s-Achse der verrichteten Arbeit. Man kann dieses Problem also lösen, indem man den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von F und der s-Achse durch eine Integration berechnet: W​[a; b] ​= ​: a ​ b ​F​(s)​ds Die Arbeit Wird ein Körper durch eine Kraft von der Stelle a zur Stelle b bewegt und bezeichnet F​​(s) ​den Betrag der Kraft an der Stelle s, so wird dabei die Arbeit ​W​[a; b]​verrichtet. ​W​[a; b] ​= ​: a ​ b ​F​(s)d​ s​ Arbeit ist das Integral der Kraft nach dem Weg. Kompetenzen s F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 0 Δs = 5 m W = F · Δs F Δ s Merke s F F a b b a W = .F(s) ds Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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