68 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s(0) = 0 m, v(0) = 0 m/s). Die Beschleunigung nimmt stets ab und wird bei Erreichen der Höchstgeschwindigkeit gleich null. Annähernd t Sekunden nach dem Start wird die Beschleunigung durch die Funktion a mit a (t) = 0,003125 t2 − 0,25 t + 5 (in m/s2) beschrieben. a (t) gilt bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit. a) Bestimme das Zeitintervall [0; t 1], in dem das Auto beschleunigt. b) Zeichne den Graphen der Funktion a im Intervall [0; t 1] und berechne die Höchstgeschwindigkeit in km/h. Wie wird die Höchstgeschwindigkeit im Graphen von a dargestellt? c) Berechne die Länge des Weges, den das Auto bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit zurücklegt. d) Interpretiere den Ausdruck : 10 20 a(t)dtim Kontext. Ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0 m/swird gemäß der Funktion a mit a(t) = − 5 _ 3 t 2 + 20 _ 3 t(a(t)in m/s 2, t in Sekunden) im Intervall [0; 6]beschleunigt. a) Skizziere und interpretiere den Verlauf des Graphen der Funktion a. b) Berechne : 0 4 a(t)dt und deute den erhaltenen Wert im Kontext. c) Berechne : 4 6 a(t)dt und deute den erhaltenen Wert im Kontext. d) Berechne : 0 6 a(t)dt und deute den erhaltenen Wert im Kontext. e) Bestimme die Länge des Wegs im Zeitintervall [2; 4]. Kennzeichne im Graphen der Zeit-Beschleunigungsfunktion a (a(t)in m/s2) die Änderung der Geschwindigkeit (v(t)in m/s) im Intervall [3; 6]. Ein Experimentierwagen wird durch eine zusammengedrückte Feder aus der Ruhe beschleunigt und von der ausgedehnten Feder wieder abgebremst. Seine Geschwindigkeit t Sekunden nach dem Start wird durch die Funktion v mit v(t) = − 4 t 3+ 12 t2 (v(t) in m/s, t in Sekunden) modelliert. a) Berechne die Länge des Weges, den der Wagen bis zum Erreichen der Maximalgeschwindigkeit zurücklegt. b) Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Wagen die maximale Beschleunigung erreicht und berechne, welchen Weg er bis dahin zurücklegt. c) a (in m/s2) ist die Zeit-Beschleunigungsfunktion des Wagens. Interpretiere den Wert des Integrals : 0 3 a(t)dtin diesem Kontext. Ein experimenteller Helikopter wird während eines Auf- und Abwärtsfluges zehn Sekunden lang beobachtet. Zu Beginn der Beobachtung (t = 0) befindet er sich 98 m über dem Boden mit einer momentanen Steiggeschwindigkeit von 97,026 m/s. Die Funktion a mit a(t) = 5,694 t − 40,142gibt im Beobachtungszeitraum die Beschleunigung in m /s2 zur Zeit t in Sekunden an. a) Berechne den Weg des Helikopters, den er von Beginn der Beobachtung bis zum Erreichen des höchsten Punktes zurückgelegt hat. b) Berechne den Weg des Helikopters, den er von der zweiten bis zur vierten Sekunde zurücklegt. (Beachte den Verlauf des Graphen der Funktion v.) 191 192 Ó Arbeitsblatt Beschleunigungsfunktion q79e58 193 t a(t) 1 2 3 4 5 6 ‒ 2 ‒ 4 ‒ 6 2 0 a 194 Ó Arbeitsblatt Brems- und Anhalteweg ib9xg4 195 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==