67 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Von einer beliebigen Zeit-Beschleunigungsfunktion auf die Geschwindigkeit und den Weg schließen Eine Zeit-Beschleunigungsfunktion a kann auch negative Werte a (t) in einem Zeitintervall annehmen, was dem Abbremsen eines Körpers entspricht. Ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0 m/s wird gemäß der Funktion a mit a(t) = − 15 t 2 + 30 t(a(t)in m/s2, t in Sekunden) im Intervall [0; 3]beschleunigt. a) Skizziere und interpretiere den Verlauf des Graphen der Funktion a. b) Berechne : 0 2 a(t)dtund deute den erhaltenen Wert im Kontext. c) Berechne : 2 3 a(t)dtund deute den erhaltenen Wert im Kontext. d) Berechne : 0 3 a(t)dtund deute den erhaltenen Wert im Kontext. e) Bestimme die Länge des Weges im Zeitintervall [1; 2]. a) Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen von a. Im Intervall (0; 2) verläuft der Graph von a oberhalb der Zeitachse, d.h. der Körper beschleunigt. Für t > 2Sekunden sind die Werte a (t) negativ, d.h. der Körper wird abgebremst. b) Berechnung des Integrals: : 0 2 a(t)dt = − 5 t 3+ 15 t2| 0 2 = 20 m/s Nach zwei Sekunden hat der Körper von 0 m/s auf seine maximale Geschwindigkeit von 20 m/s beschleunigt und wird danach wieder abgebremst. c) Berechnung des Integrals: : 2 3 a(t)dt = − 5 t 3+ 15 t2| 2 3 = − 20 m/s Im Zeitintervall [2; 3] nimmt die Geschwindigkeit um 20 m/s ab. d) Für den Wert des Integrals im Intervall [0; 3] gilt: : 0 3 a(t)dt = − 5 t 3+ 15 t2| 0 3 = 0 m/s Nach drei Sekunden ist die Geschwindigkeit des Körpers null, d.h. er ist wieder zum Stillstand gekommen. e) Es gilt: v(t) = ∫ a(t)dt = − 5 t 3+ 15 t2 (v(0) = 0 m/s). Das bestimmte Integral : 1 2 v(t)dt = − 5 t 4 _ 4 + 5 t 3| 1 2 = 16,25 mgibt den zurückgelegten Weg im Intervall [1; 2] an. Es können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden: – Das Berechnen des Integrals einer Zeit-Beschleunigungsfunktion a über eine Nullstelle hinweg kann sinnvoll interpretiert werden und ist daher zulässig. – Das Bilden des Betrags eines negativen Werts von : t 1 t 2 a(t)dtim Intervall [t 1; t 2]ist nicht sinnvoll, da dadurch genau das Gegenteil, nämlich eine Zunahme der Geschwindigkeit, beschrieben werden würde. Muster 190 t a(t) 1 2 3 10 20 –40 –30 –20 –10 0 a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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