65 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Von einer nichtnegativen Zeit-Beschleunigungsfunktion auf die Geschwindigkeit und den Weg schließen Das bestimmte Integral einer positiven Zeit-Beschleunigungsfunktion a in einem Zeitintervall [t 1; t 2] gibt die in diesem Zeitintervall herrschende Geschwindigkeitsänderung an. Die Geschwindigkeitsfunktion kann nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mithilfe einer Stammfunktion von a (∫ a(t)dt = v(t) + c) exakt berechnet werden. Ausgehend von der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v kann durch unbestimmtes Integrieren auch wieder die Zeit-Ort-Funktion s ermittelt werden. Integral der Zeit-Beschleunigungsfunktion Beschreibt eine Zeit-Beschleunigungsfunktion a die Beschleunigung a (t) eines Körpers zum Zeitpunkt t in einem Zeitintervall [t 1; t 2] und ist im betrachteten Zeitraum a(t) größer oder gleich null, gilt für die Geschwindigkeitsänderung v(t 1; t 2) in diesem Zeitintervall: v(t 1; t 2) = : t 1 t 2 a(t)dt = v(t 2) − v(t 1) Eine Rakete hat eine Startbeschleunigung von rund 6 m/s2. Die Beschleunigung ist während des ganzen Fluges als konstant anzunehmen. Die Variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an. a) Bestimme die Funktion v, die die Geschwindigkeit der Rakete (in m/s) t Sekunden nach dem Start angibt und ermittle die Geschwindigkeitsänderung der Rakete im Zeitintervall [6; 10]. b) Berechne die Höhe der Rakete 240 Sekunden nach dem Start, sowie ihre Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. a) Für die konstante Beschleunigung gilt: a (t) = 6 m/s2. Das unbestimmte Integral der Funktion a liefert die Geschwindigkeitsfunktion v(t) = ∫ a(t)dt = ∫6dt = 6t + c1. Die additive Konstante c1 hat den Wert null, da sie die Anfangsgeschwindigkeit der Rakete angibt und diese beim Start (t = 0) 0 m/s beträgt. Für die Geschwindigkeitsänderung gilt: v(10) − v(6) = 60 − 36 = 24 m/s b) Für die Funktion s(t), die die Höhe der Rakete zum Zeitpunkt t beschreibt, gilt: s(t) = ∫ v(t)dt = ∫6tdt = 3t2 + c 2. Die additive Konstante c2 hat den Wert null, da sie die Höhe der Rakete beim Start (t = 0) angibt und diese zu diesem Zeitpunkt 0 m beträgt. s(240) = 3 · 2402 = 172800 mgibt die Höhe der Rakete 240 Sekunden nach dem Start an. Ihre Geschwindigkeit beträgt zu diesem Zeitpunkt v(240) = 6 · 240 = 1440 m/s. Eine Rakete hat eine (konstante) Startbeschleunigung von a m/s2. Berechne ihre Geschwindigkeitsänderung im gegebenen Zeitintervall und den zurückgelegten Weg t Sekunden nach dem Start. a) a = 5,5; [2; 4]; t = 180 c) a = 6,3; [1; 5]; t = 120 b) a = 7; [1; 3]; t = 60 d) a = 7,25; [5; 6]; t = 200 Wird ein Körper t Sekunden lang aus dem Stand beschleunigt (d.h. seine Anfangsgeschwindigkeit ist null), gibt das Integral der Zeit-Beschleunigungsfunktion über dem Intervall [0; t] die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t an. Merke Ó Arbeitsblatt Weg – Geschwindigkeit – Maturaformate 89j224 Muster 182 183 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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