63 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Von beliebigen Zeit-Geschwindigkeitsfunktionen auf den Weg schließen Man betrachtet einen Körper, der sich entlang einer geradlinigen Bahn bewegt. Eine ZeitGeschwindigkeitsfunktion v kann auch negative Werte v(t) in einem Zeitintervall annehmen, was einer Rückwärtsbewegung des Körpers entspricht. Die Geschwindigkeit v (in m/s) eines sich auf einer geradlinigen Bahn bewegenden Modellautos wird im Zeitintervall [0; 8] durch die ZeitGeschwindigkeitsfunktion v(t) (t in Sekunden) modelliert. Der Graph von v ist im nebenstehenden Koordinatensystem dargestellt. Interpretiere die Integrale : 0 5,1 v(t)dt, : 5,1 8 v(t)dt, : 0 8 v(t)dtsowie : 0 5,1 v(t)dt + | : 5,1 8 v(t)dt| in diesem Kontext. Das Integral : 0 5,1 v(t)dtbeschreibt den im Zeitintervall [0; 5,1]zurückgelegten geradlinigen Weg des Modellautos, da in [0; 5,1] v(t) immer größer oder gleich null ist. Der Graph von v verläuft im Zeitintervall (5,1; 8) unterhalb der waagrechten Achse. Das Integral : 5,1 8 v(t)dtist negativ und beschreibt daher den geradlinigen Weg des Modellautos in genau entgegensetzter Richtung. Es wird also auf einer geraden Bahn hin‑ und herbewegt und befindet sich zum Zeitpunkt 5,1 weiter vom Startpunkt entfernt als zum Zeitpunkt 8. Betrachtet man nun das Integral : 0 8 v(t)dt, wird dadurch die Entfernung des Modellautos vom Startpunkt nach 8 Sekunden beschrieben. Es ist zu beachten, dass in diesem Kontext das Bilden des bestimmten Integrals über eine Nullstelle hinweg einen sinnvoll interpretierbaren Wert liefert. : 0 5,1 v(t)dt + | : 5,1 8 v(t)dt| gibt den vom Modellauto insgesamt zurückgelegten Weg an. Entfernung zweier Orte Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v im Zeitintervall [t 1; t 2] entlang einer geradlinigen Bahn, gibt das bestimmte Integral | : t 1 t 2 v(t)dt| = |s(t 2) − s(t 1)| die Entfernung zwischen dem Ort, an dem sich der Körper zum Zeitpunkt t1 und dem Ort, an dem er sich zum Zeitpunkt t2befindet, an. Nebenstehend ist die Geschwindigkeit v(t) eines sich auf einer geradlinigen Bahn bewegenden Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt (t in Sekunden, v(t)in m/s). a) Gib mittels eines Integrals den Weg an, den der Körper im Zeitintervall [0; 10]zurücklegt. b) Gib mittels eines Integrals den Weg an, den der Körper im Zeitintervall [10; 16]zurücklegt. c) Gib mittels eines Integrals den Weg an, den der Körper im Zeitintervall [0; 16]zurücklegt. d) Gib die Bedeutung des Integrals : 8 14 v(t)dtin diesem Kontext an. Muster 177 t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 –2 0 v Merke 178 t v(t) 2 4 6 8 1012141618 1 2 3 4 –2 –1 0 v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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