61 3.2 Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Lernziele: º Den zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegten Weg aus einer Geschwindigkeitsfunktion ermitteln können º Die Momentangeschwindigkeit aus einer Beschleunigungsfunktion ermitteln können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.3 D as bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können In Abschnitt 2.2 wurde das bestimmte Integral einer Funktion f auf einem Intervall [a; b] als Grenzwert einer Summe von Produkten definiert: : a b f(x)dx ≈ ∑ i f(x i) · ∆ x. Betrachtet man nun statt der allgemeinen Funktion f die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v, die jedem Zeitpunkt t in einem Zeitintervall [t 1; t 2]die Geschwindigkeit v(t) ≥ 0zuordnet, dann wird durch das bestimmte Integral : t 1 t 2 v(t)dt ≈ ∑ i v(t i) · ∆tder in diesem Intervall zurückgelegte Weg beschrieben, da „Weg = Geschwindigkeit mal Zeit“ gilt. Gegeben sind die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v und ein Zeitintervall [t 1; t 2]. (Geschwindigkeit v(t) in m/s, Zeit t in Sekunden). Gib näherungsweise die Länge des in dem Zeitintervall zurückgelegten Wegs an, der in der Graphik durch eine Unter- bzw. Obersumme dargestellt ist. a) v(t) = − 3 t + 10; [0; 3] t v(t) 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 0 v b) v(t) = 8 t − 1; [1; 4] t v(t) 1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 0 v c) v(t)= 15 t2 − 4 t + 2; [1; 3] t v(t) 1 2 3 20 40 60 80 100 120 0 v Von nichtnegativen Zeit-Geschwindigkeitsfunktionen auf den Weg schließen Ein Körper bewegt sich auf einer geradlinigen Bahn. Das bestimmte Integral einer ZeitGeschwindigkeitsfunktion v mit nichtnegativen Funktionswerten v(t) in einem Zeitintervall [t 1; t 2] gibt den in diesem Zeitintervall geradlinig zurückgelegten Weg an. Der Weg kann nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mithilfe einer Stammfunktion von v (∫ v(t)dt = s(t) + c) exakt berechnet werden. Integral der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion Beschreibt eine Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v die Geschwindigkeit v(t) eines Körpers zum Zeitpunkt t in einem Zeitintervall [t 1; t 2] und ist im betrachteten Zeitraum v(t)größer oder gleich null, gilt für den im Zeitintervall zurückgelegten Weg w (t 1; t 2) (s … Zeit-Ort-Funktion): w(t 1; t 2) = : t 1 t 2 v(t)dt = s(t 2) − s(t 1) Kompetenzen 171 Merke Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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