59 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Volumenberechnungen 2) Es müssen die neuen Grenzen bezüglich der y-Achse berechnet werden: f(2) = 1,8 bzw. f(4) = 4,2. Bei der Drehung um die y-Achse gilt: V = π · : 1,8 4,2 x 2 dy. Da f im gegebenen Intervall eine Umkehrfunktion besitzt, kann man x ausdrücken: y = x 2 _ 5 + 1 ⇒ x = 9 _5 y − 5 ⇒ x 2 = 5 y − 5 ⇒ V = π · : 1,8 4,2 x 2 dy = π · : 1,8 4,2 (5 y − 5)dy = 24 π Der Graph der Funktion f rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers. a) f(x) = x 2 _ 4 + 1mit 2 ≤ x ≤ 4 c) f(x) = − x 2 _ 2 + 6mit 0 ≤ x ≤ 2 e) f(x) = 9 _ x+ 2mit 1 ≤ x ≤ 4 b) f(x)= 2 x2 + 3mit 0 ≤ x ≤ 5 d) f(x) = x 2 _ 5 + 1mit 5 ≤ x ≤ 10 f) f(x) = 2 9 _ x+ 3mit 4 ≤ x ≤ 9 Das Flächenstück, welches vom gegebenen Kegelschnitt und der x-Achse eingeschlossen wird, rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers. a) x 2 + y 2 = 9 c) 4 x 2+ 9 y2 = 36 e) 9 x 2+ 25 y2 = 225 b) x 2 + y 2 = 16 d) 9 x 2+ 16 y2 = 144 f) x 2+ 4 y2 = 16 a) Ein Kreis mit der Gleichung x 2 + y 2 = r 2 rotiert um die x-Achse. Der entstehende Rotationskörper ist eine Kugel. Leite die Formel für das Volumen einer Kugel her. b) Eine Ellipse mit der Gleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Leite eine Formel für die Berechnung des Volumens des entstehenden Rotationskörpers (Ellipsoid) her. Die innere Begrenzung eines Glases entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f mit f(x) = a · 9 _ xum die x-Achse. Die innere Höhe des Glases ist h cm, der innere Radius ist r cm. i) Stelle eine passende Funktionsgleichung auf. ii) Berechne, wie viel Liter Wasser in dieses Glas passen, wenn das Wasser bis 1 cm unter den Rand gefüllt wird. a) h = 16 cm; r = 3 cm b) h = 25 cm; r = 4 cm c) h = 4 cm; r = 6 cm Die innere Begrenzung eines 30 cm hohen Glases entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f mit f(x) = 1 _ 5 x 2 um die y-Achse. In das Glas wird Wasser gefüllt. Berechne die Wasserhöhe, wenn man einen halben Liter Wasser in das Glas füllt. Da die Funktion um die y-Achse rotiert, muss zuerst auf x 2umgeformt werden: y = 1 _ 5 x 2 ⇒ x 2 = 5 y Da man einen halben Liter Wasser in das Glas füllt, ist das Volumen V = 0,5 Litergegeben. Wandelt man das Volumen in cm3 um, kann man mit Hilfe der gegebenen Gleichung die Höhe berechnen: V = 0,5 l = 0,5 dm3= 500 cm3 ⇒ 500 = π · : 0 h 5 ydy ⇒ 500 = π · 5 h 2 _ 2 Durch Lösen der Gleichung erhält man: h = ±9 _ 200 _ π ≈ ± 8 Da nur der positive Wert in Frage kommt, beträgt die Wasserhöhe ca. 8 cm. Die innere Begrenzung eines 30 cm hohen Glases entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f um die y-Achse. In das Glas wird Wasser gefüllt. Berechne die Wasserhöhe, wenn man k Liter Wasser in das Glas füllt. a) f(x) = 1 _ 3 x 2 k = 0,5 c) f(x) = 5 _ 6 x 2 + 2 k = 1,2 b) f(x) = 3 _ 8 x 2 k = 1 d) f(x) = 2 _ 3 x 2 + 1 k = 0,875 161 162 163 164 Muster 165 166 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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