58 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Volumenberechnungen 3 Betrachte die Graphen aus der Tabelle von S. 57 und berechne das Volumen a) des Zylinders. b) des Kegels. c) der Kugel. Berechne das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn sich der Graph der Funktion f im gegebenen Intervall um die gegebene Achse dreht. a) f(x) = 2; [− 3; 2]; x-Achse c) f(x)= 4x; [0; 5]; y-Achse e) f(x) = 2 x + 1; [2; 5]; y-Achse b) f(x) = − 4; [5; 8]; x-Achse d) f(x) = − 2 x; [2; 5]; x-Achse f) f(x) = x + 2; [3; 5]; x-Achse Rotation um die x-Achse In nebenstehender Abbildung ist der Graph der Funktion f mit y = f(x) dargestellt. Rotiert dieser Graph nun in [a; b] um die x-Achse, so kann der Flächeninhalt der Querschnittsfläche an jeder Stelle x durch einen Kreis beschrieben werden, dessen Radius der Funktionswert an der Stelle x ist. Es gilt daher: A = r 2 π ⇒ A(x) = f (x) 2 π = y2 π Für das Volumen des Drehkörpers in [a; b] folgt: V = : a b A(x)dx = π · : a b y 2 dx Rotation um die y-Achse Rotiert der Funktionsgraph nun um die y-Achse, so ist die Querschnittsfläche von y abhängig. Für den Radius des Kreises in der Höhe y gilt daher r = f*(y)= x, wobei f* die Umkehrfunktion von f ist: A = r 2 π ⇒ A(y) = f * (y) 2 π = x2 π Für das Volumen des Rotationskörpers (c ≤ y ≤ d) folgt: V = : c d A(y)dy = π · : c d x 2 dy Volumina von Rotationskörpern: Für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen einer Funktion f mit f(x) = y entsteht, gilt: Drehung um die x-Achse (a ≤ x ≤ b): Drehung um die y-Achse (c ≤ y ≤ d): V = π · : a b y 2 dx V = π · : c d x 2 dy Der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 _ 5 + 1mit 2 ≤ x ≤ 4rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers. 1) Bei der Drehung um die x-Achse gilt: V = π · : 2 4 y 2 dx. Setzt man nun f(x)= y, erhält man y2durch y2 = (x 2 _ 5 + 1) 2 = x 4 _ 25 + 2 x 2 _ 5 + 1. ⇒ V=π·: 2 4 y 2 dx = π · : 2 4( x 4 _ 25 + 2 x 2 _ 5 + 1)dx = 17,4 π 158 159 x f(x) b a f f(x) x x f(x) c d f f(x) x Merke Ó Technologie Anleitung Volumenberechnungen sc52gz Muster 160 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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