57 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Volumenberechnungen Der Innenraum eines h cm hohen Gefäßes besitzt in jeder Höhe z eine annähernd rechteckige Querschnittsfläche. Die Breite des Gefäßes in der Höhe z ist durch b (z)gegeben. Die Länge ist am Boden a cm, am oberen Rand c cm und sie nimmt linear zu. Berechne das Volumen des Innenraums. a) b(z) = 6 _ 25 z + 15; h = 50; a = 15; c = 30 c) b(z) = 1 _ 320 z 2 + 15; h = 40; a = 11; c = 25 b) b(z) = 2 _ 5 z + 38; h = 95; a = 45; c = 85 d) b(z) = 1 _ 256 z 2 + 35; h = 80; a = 25; c = 40 a) Leite die Formel für das Volumen eines Zylinders mit der Höhe h und dem Radius r mit Hilfe der Integralrechnung her. Beachte, dass die Querschnittsfläche in jeder Höhe gleich ist. b) Leite die Formel für das Volumen eines Kegels mit der Höhe h und dem Radius r her. Stelle dafür die Funktionen r(z) (für den Radius) und A (z)(für die Querschnittsfläche) auf. Die horizontale Querschnittsfläche einer Parfumflasche ist rechteckig. Die Länge am unteren Ende der Flasche ist 8 cm, die Breite 4 cm. Am oberen Ende ist die Länge 2 cm und die Breite 1 cm (der Verschluss wird vernachlässigt). Berechne, wie viel ml Parfüm in diese Flasche passen, wenn angenommen wird, dass die Länge und die Breite linear abnehmen und die Parfumflasche 15 cm hoch ist. Volumina von Rotationskörpern Lässt man eine Kurve um eine Achse drehen (z.B. um eine Koordinatenachse), so entsteht ein Rotationskörper. In der ersten Graphik (unten) sieht man einen Abschnitt einer konstanten Funktion, der sich um die x-Achse dreht. Es entsteht ein Zylinder. In der zweiten Graphik dreht sich ein Teil einer linearen Funktion um die y-Achse. Es entsteht ein Kegel. Rotiert ein Halbkreis um die x-Achse, entsteht eine Kugel (dritte Graphik). Zylinder Kegel Kugel x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f 2 4 –2 z x 2 4 4 6 6 – 4 – 4 2 –2 –4 y 2 4 –2 z x 4 8 8 12 12 – 8 – 4 4 –4 –8 y 4 8 –4 z x 4 8 8 12 12 – 8 4 –4 –8 y 155 156 h r A(z) h r A(z) 157 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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