56 Weitere Anwendungen der Integralrechnung > Volumenberechnungen 3 Volumina von Körpern mit bekannter Querschnittsfläche Ist A(z) der Flächeninhalt der Querschnittsfläche eines Körpers in der Höhe z (a ≤ z ≤ b) und A stetig in [a; b], dann gilt für das Volumen V des Körpers in [a; b]: V = : a b A(z)dz Die horizontale Querschnittsfläche des abgebildeten Körpers ist in jeder Höhe z (0 ≤ z ≤ 30) ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a(z) = − 1 _ 180 z 2 + 5. Berechne das Volumen des Körpers. Zuerst muss die Querschnittsfläche in Abhängigkeit von der Höhe z berechnet werden. Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks kann man mit A = 3 · a 2 · 9 _ 3 _ 2 berechnen. Daher gilt für die Querschnittsfläche: A(z) = 3 · (− 1 _ 180 z 2 + 5) 2 · 9 _ 3 ____________ 2 Durch Einsetzen ins Integral erhält man das gewünschte Volumen: V = : 0 30 ( 3 · (− 1 _ 180 z 2 + 5) 2 · 9 _ 3 ____________ 2 )dz = 1 039,23 Die horizontale Querschnittsfläche eines Körpers ist in jeder Höhe z ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a (z). Berechne das Volumen des Körpers. a) a(z) = − 2z+80 0 ≤z≤40 c) a(z) = − 6 _ 1 250 z 2 +12 0 ≤z≤50 b) a(z) = − 2z+60 0 ≤z≤30 d) a(z) = − 7 _ 2 025 z 2 +7 0 ≤z≤45 Die Querschnittsfläche eines Zelts ist in jeder Höhe z ein Quadrat mit der Seitenlänge a(z). Berechne das Volumen des Körpers. (Maße in Meter m) a) a(z) = − 4 _ 3 9 _ z + 4 b) a(z) = − 7 _ 5 9 _ z + 7 Tipp: Beachte, dass an der Spitze des Zelts a (z) = 0gelten muss. Der Innenraum eines 50 cm hohen Gefäßes besitzt in jeder Höhe z eine rechteckige Querschnittsfläche. Die Breite des Gefäßes in der Höhe z ist durch b (z) = 3 _ 500 z 2 + 15gegeben. Die Länge ist am Boden 12 cm, am oberen Rand 25 cm und sie nimmt linear zu. Berechne das Volumen des Innenraums. Um die Querschnittsfläche zu berechnen, muss zuerst eine Funktion für die Länge l(z) aufgestellt werden. Da die Länge linear zunimmt, wird eine Funktion der Form l(z) = k · z + d gesucht. Da die Länge am Boden 12 cm ist, gilt l(0) = 12. In einer Höhe von 50 cm ist sie 25 cm. Daher gilt l(50) = 25. Setzt man nun diese Informationen jeweils in l(z) = k · z + dein und löst das Gleichungssystem, erhält man l(z) = 13 _ 50 z + 12. Da die Querschnittsfläche ein Rechteck ist, gilt: A (z) = l(z) · b(z) = ( 13 _ 50 z + 12) · ( 3 _ 500 z 2 + 15) ⇒ V = : 0 50 ( 13 _ 50 z + 12) · ( 3 _ 500 z 2 + 15)dz = 19312,5 cm3 Merke Muster 151 152 153 Muster 154 h z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==