55 3.1 Volumenberechnungen Lernziele: º Das Volumen eines Körpers mit Hilfe der Integralrechnung berechnen können º Das Volumen von Rotationskörpern berechnen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 4.3 D as bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können Berechne das Volumen eines Prismas mit der Höhe h. Die Grundfläche sei rechteckig mit den Seitenlängen a und b. a) a = 3 cm; b = 4 dm; h = 2,5 cm b) a = 3,4 cm; b = 2,5 dm; h = 2,34 m Ordne jedem Körper (bei üblicher Beschriftung) eine passende Volumsformel zu. 1 V = r 2 πh A Zylinder 2 V = abh B Kegel 3 V = 4 r 3 π _ 3 C Kugel 4 V = ah _ 3 D Quader 5 V = r 2 πh _ 3 6 V = 2r2 π Volumina von Körpern mit bekannter Querschnittsfläche In Kapitel 2 wurden schon Anwendungen des bestimmten Integrals erarbeitet. Dabei wurde das Integral als Grenzwert einer Summe von Produkten der Form f(x) · ∆xinterpretiert. Diese Interpretation kann auch zur Berechnung des Volumens eines Körpers verwendet werden. Betrachtet man nebenstehende Abbildung, so kann man für die Volumenberechnung wie folgt vorgehen: – Man unterteilt die Höhe des Körpers in n gleich große Intervalle der Länge ∆ z. – Anschließend wird in jedem Intervall eine Zwischenstelle z gewählt und die Querschnittsfläche A(z) betrachtet. – Mittels A(z) ·∆zwird das Volumen des jeweiligen durch die Unterteilung entstandenen Prismas berechnet. Dies ist eine Annäherung an das tatsächliche Volumen im jeweiligen Intervall. – Wird nun die Summe der einzelnen Volumina berechnet, erhält man eine Annäherung an das Körpervolumen durch V ≈ ∑A(z) · ∆z. Lässt man die Intervalle immer kleiner werden, entsteht eine Summe von Produkten, deren Grenzwert wieder zum bestimmten Integral und somit zum exakten Volumen des Körpers führt. Kompetenzen 149 150 h A(z) Δ z z Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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