54 3 Weitere Anwendungen der Integralrechnung Im vorigen Kapite® wurde erarbeitet, wie man mit Hi®fe der Integra®rechnung F®ächeninha®te berechnen kann. Die Bedeutung der Integra®rechnung geht a®®erdings weit über diese Anwendung hinaus. Du wirst in diesem Kapite® sehen, wie die Idee der F®ächeninha®tsberechnung vera®®gemeinert werden kann. Dadurch werden sich weitere, unerwartete Anwendungen der Integra®rechnung in der Mathematik und in den Naturwissenschaften ergeben. Zuerst muss man a®®erdings ein a®®gemeines „Muster“ in der F®ächeninha®tsberechnung mit Hi®fe eines Integra®s erkennen. Erkennt man dieses Muster dann auch in anderen Zusammenhängen, so kann man die Integra®rechnung auch dort erfo®greich einsetzen. Mit der Integra®rechnung ist es uns ge®ungen, den F®ächeninha®t unter einer Kurve zu berechnen, indem wir die F®äche in unend®ich vie®e k®einste Rechtecke zer®egt haben, und die F®ächeninha®te dieser Rechtecke aufsummierten. Jeder dieser F®ächeninha®te ergibt sich durch eine Mu®tip®ikation aus einer Länge und einer Breite. Lässt man nun die Bedeutungen „Länge“ und „Breite“ der beiden Faktoren beiseite, so hande®t es sich bei der F®ächeninha®tsberechnung mit Hi®fe eines Integra®s um die Berechnung einer Summe von Produkten. Das ist das „Muster“ der Integra®rechnung, das in diesem Kapite® in neuen Zusammenhängen angewandt wird. Derartige Produkte findet man in vie®en mathematischen und naturwissenschaft®ichen Anwendungen und Forme®n. Zum Beispie® kann man den Weg s, den ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit v in der Zeit t zurück®egt, mit der Forme® s = v · t berechnen. Die Arbeit W, die man verrichtet, wenn man die Kraft F auf einer Strecke s aufwendet, wird ebenfa®®s durch ein Produkt berechnet: W = F · s. Das Vo®umen V einiger Körper mit der Grundf®äche G und der Höhe h kann man durch das Produkt V = G · h berechnen. Inwieweit die Integra®rechnung zur Berechnung so®cher Produkte nütz®ich sein kann, erfährst du in diesem Kapite®. x f(x) f 2 4 6 8 10 20 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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